Nowe Ślady Pitagorasa. Bogdan Miś - Recently Updated Pages

Home

bogmis — Mon, 14 Sep 2009 15:50:23 CDT

Wstęp

Wiele, wiele lat temu, jako zupełnie młody chłopak zaczytywałem się dwiema wspaniałymi książkami XIX-wiecznego popularyzatora matematyki. Te książki to „Lilavati” i „Śladami Pitagorasa” pióra inż. Szczepana Jeleńskiego; wydawano je u nas kilkakrotnie, ale już od dawna nie są dostępne młodym ludziom i nauczycielom matematyki, którzy znaleźliby w nich mnóstwo zadań i problemów, mogących doskonale ubarwić nudnawe zazwyczaj dla większości uczniów lekcje matematyki.

W moim przypadku książki te w istotny sposób przyczyniły się do wyboru kierunku studiów. Wybrałem właśnie matematykę i mimo wykonywania potem różnych zawodów – w szczególności pięknego zawodu dziennikarskiego – nigdy dokonanego wyboru nie żałowałem. W ogóle, jeśli jakiejś decyzji życiowej kiedykolwiek żałowałem, to tej, że nie poświęciłem się wyłącznie matematyce...

Ale to już całkiem inna historia.

Kilka lat po ukończeniu studiów zacząłem współpracę z polską telewizją. Przygoda ta zaczęła się od udziału w teleturnieju „21 pytań”, w którym drużyna dziennikarzy walczyła co tydzień z drużyną matematyków; kilka razy miałem zaszczyt być członkiem tej drugiej. Potem zostałem laureatem konkursu na prezenterów telewizyjnych i kierownik redakcji teleturniejów, niezmiernie wówczas – i zasłużenie – popularny dziennikarz, Ryszard Serafinowicz (z którym zdążyłem się zaprzyjaźnić), zaproponował mi prowadzenie i przygotowywanie teleturnieju, poświęconego matematyce. Nazwaliśmy go – oczywiście – „Śladami Pitagorasa”. Pojawiał się ten program na antenie TVP co miesiąc w każdy trzeci piątek po południu przez kilka lat.
Od tamtych lat zbierałem pilnie różne ciekawostki matematyczne – zwariowane twierdzenia, zaskakujące fakty, niezwykłe zadania. Uzbierało się tego sporo – już bym dziś nie umiał powiedzieć skąd która pochodzi. Najpierw wynotowywałem je z gazet i książek, ostatnimi laty znakomitym źródłem okazał się Internet.

A oto ich wybór. Podzielone są na trzy kategorie – łatwe, średnie i trudniejsze. Oczywiście, klasyfikacja ta jest silnie subiektywna; z grubsza biorąc, chciałbym, aby fragmenty łatwe były zrozumiałe i dostępne (w sensie używanego w nich aparatu matematycznego) dla gimnazjalisty, średnie – dla typowego licealisty, trudniejsze zaś dla tych już bardziej zainteresowanych matematyką. Niektóre z nich są prostymi informacjami o ciekawych - moim zdaniem - faktach, twierdzeniach i obiektach matematycznych; inne są zagadkami lub zadaniami (niekiedy z rozwiązaniem, niekiedy bez). Niektóre zawierają podpowiedzi dla Czytelnika, inne nie; słowem, konstrukcja tej książki (a tym samym odpowiadającej jej witryny) to klasyczne silva rerum.

Aha, jeszcze jedno: korzystając z możliwości hipertekstu odsyłam Was do wiedzy o Pitagorasie....

No i jeszcze zwracam uwagę Czytelników na znajdującą się w tej witrynie kolekcję moich nagrań wideo (dostępna z górnego paska menu), poświęconych tej samej tematyce. Jest to wybór z obszerniejszych zbiorów, które zamieściłem na YouTube.

Oznaczenia

* łatwe
** średnie
*** trudniejsze

Szczepan Jeleński (ur. 22 grudnia 1881 w Warszawie, zm. 27 maja 1949 w Poznaniu), inżynier i pisarz, popularyzator nauki. Używał pseudonimu Bohdan Katerwa i innych.. Napisał komedie Urwis (1918) i Igraszki z ogniem, a także nastrojową sztukę Przechodzień (1921); autor książek Lilavati, Śladami Pitagorasa, Pod strażą Sfinksa i innych. Uprawiał też publicystykę o tematyce religijnej. W okresie międzywojennym był dyrektorem "Księgarni św. Wojciecha" w Poznaniu (ta informacja pochodzi z Wikipedii)

To miejsce - to sieciowa wersja książki, którą teraz piszę. Będzie się ona rozrastała w miarę powstawania, więc bardzo proszę o wyrozumiałość w kwestii doboru tematów; od czegoś trzeba było w końcu ...

Miło mi będzie, jeśli Czytelnicy zechcą podzielić się ze mną swoimi uwagami i opiniami; z pewnością pozwoli mi się to ustrzec wielu błędów, więc z góry dziękuję. Bardzo proszę o wpisywanie ich w komentarzach do odpowiednich stron.

Dostęp do poszczególnych ciekawostek i artykułów z menu nawigacyjnego po lewej stronie. Zauważ, że pokazuje ono tylko 20 artykułów; aby uzyskać dostęp do pozostałych kliknij odnośnik na samym dole tego menu.

*** Potęgi wymierne i niewymierne

bogmis — Wed, 19 Nov 2008 07:15:45 CST

Łatwo zauważyć, że podnosząc liczbę niewymierną do potęgi wymiernej można otrzymać rezultat wymierny. Prosty przykład:

Co jednak będzie, kiedy liczbę niewymierną podniesiemy do potęgi również niewymiernej? Czy w takim przypadku można kiedykolwiek otrzymać liczbę wymierną?

Odpowiedź jest pozytywna: tak, można. Zwróć uwagę, że uzyskamy tę odpowiedź bez wskazania konkretnych liczb; będzie to dość typowy dla matematyków nieefektywny dowód istnienia rozwiązania problemu. Oto

Twierdzenie

Istnieją takie liczby niewymierne A i B, że liczba A^B jest wymierna.

Wiemy, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną. Jeśli liczba pierwiastek z dwóch do potegi pierwiastek z dwóch jest wymierna, to dowód twierdzenia jest zakończony; załóżmy więc, że jest ona niewymierna i oznaczmy tę liczbę przez A. Oznaczając przez B liczbę pierwiastek z dwóch zauważymy z łatwością, że A^B = 2; a zatem wynik jest wymierny, co dowodzi naszego twierdzenia, cbdo.

Dowód ten jest po prostu piękny, ponieważ nie mówi on nam kompletnie nic o wymierności albo niewymierności liczby !

Uzupełnienie:

Od roku 1934 wiadomo, że ta liczba jest jednak niewymierna, co wynika z tzw. twierdzenia Gelfonda-Schneidera. Orzeka ono, że jeśli liczby A i B są pierwiastkami wielomianu, A nie jest zerem ani jedynką i B jest niewymierne, to A^B jest liczbą niewymierną (a nawet więcej: przestępną!)

Liczby przestępne to liczby nie będące miejscami zerowymi żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Przestępne są na przykład π i e. Nie jest liczbą przestępną pierwiastek z dwóch (dlaczego?).

Obejdziemy się jednak bez twierdzenia Gelfonda-Schneidera. Niechaj x będzie dowolną liczbą przestępną. Niech dalej q będzie dowolną dodatnią liczbą wymierną. Wówczas oczywiście

i pozostaje nam dowieść, że wykładnik jest liczbą niewymierną. Jeśli jednak byłaby ona wymierna, to mielibyśmy

skąd wynikałoby, że

co z kolei oznaczałoby, iż

Ale przecież założyliśmy, że liczba x jest przestępna! Mamy więc sprzeczność, dowodzącą twierdzenia.

*** Jak podnieść zero do potęgi zero?

Anonymous — Mon, 14 Apr 2008 12:54:30 CDT

„Każdy wie”, że dowolna liczba podniesiona do potęgi zero daje jeden. „Każdy wie” także, że zero podniesione do dowolnej potęgi daje zero. Więc ile to w końcu jest – zero do zerowej?

No dobrze, mądrale: najłatwiej powiedzieć, że ta wartość nie jest określona, bowiem funkcja x^x rozważana jako funkcja dwóch zmiennych nie jest ciągła w punkcie (0, 0).

Ale gdyby mogła być określona – upierasz się – to ile „powinna” wynosić? Zero, czy jeden? Może to rozstrzygnąć w drodze głosowania?

Uprzedźmy wynik ewentualnego głosowania: wypadnie nam preferować liczbę 1. A oto argumenty:

1. Jeśli rozważymy granicę funkcji x^x w punkcie 0 (dlax zmierzającego do zera z prawej strony), to łatwo zauważyć, że musi ona wynosić 1. Jeśli więc chcielibyśmy, by ta funkcja była w zerze prawostronnie ciągła (a wszak funkcje ciągłe są „przyjemniejsze”, nieprawdaż?), to powinniśmy przyjąć, że 0^0 = 1. Wykonajmy zresztą trochę obliczeń na kalkulatorze (może być tym z Windows, jeśli akurat korzystasz z komputera).

Mamy:

0,01^0,01 = 0,954592
0,001^0,001 = 0,993116
0,0001^0,0001 = 0,999079

i widać, jak szybka jest w tym wypadku zbieżność do jedynki.

2. Rozważmy trójkąt Pascala, zbudowany dla wyrażenia (1 – 1)^n. Jeśli chcemy, by zachował on swą charakterystyczną budowę w kształcie trójkąta

to musimy przyjąć, że 0^0 = 1, żeby ta jedynka pojawiła się i w tym przypadku na samej górze; wtedy i tylko wtedy „wszystko się zgadza”.

3. Wyrażenie mn , gdzie m i n są liczbami naturalnymi, przyjęto rozumieć jako wynik mnożenia liczby m przez siebie n razy.
Możemy to zapisać również i tak:

mn = 1×m×m×…×m

gdzie występuje n mnożeń. Jeśli n = 0, to wynik tego mnożenia powinien być 1.

4. Spójrzmy na to jeszcze inaczej. Potęgę m^n można interpretować jako liczbę sposobów, na jakie zbiór n-elementowy da się przekształcić na zbiór m-elementowy. Na przykład: na 9 sposobów można przekształcić zbiór dwuelementowy na trójelementowy; z drugiej strony nie ma w ogóle żadnej możliwości przekształcenia zbioru dwuelementowego w zbiór pusty i dlatego właśnie 0^2 = 0. Jednakże istnieje dokładnie jeden sposób przekształcenia zbioru pustego na zbiór pusty, mianowicie przyporządkowanie identycznościowe. Skoro istnieje ten jeden sposób, no to musimy konsekwentnie przyjąć, że 0^0 = 1.

* Jak szybko podnieść do kwadratu liczbę, kończącą się cyfrą 5?

Anonymous — Mon, 31 Mar 2008 13:44:02 CDT

Możesz zadziwić kolegów (jeśli, rzecz jasna, nie znają oni opisanej niżej sztuczki…) błyskawicznym podnoszeniem „w głowie” do kwadratu liczb, których zapis dziesiętny kończy się cyfrą 5. Obliczysz natychmiast, że

45^2 = 2025
85^2 = 7225, itd.

Reguła jest taka: wynik potęgowania kończy się cyframi 25, zaś jeśli (w wypadku liczb dwucyfrowych) pierwszą cyfrą potęgowanej liczby jest N, to do owego 25 należy po prostu dopisać z przodu N×(N + 1). Faktycznie (porównaj z przykładami)

4×5 = 20, 8×9 = 72.

Nasza sztuczka działa nie tylko w wypadku podnoszenia do kwadratu liczb dwucyfrowych; tyle, że w wypadku liczb wielocyfrowych błyskawiczne przeprowadzenie odpowiednich rachunków jest trudniejsze.

Propozycja

Wykonaj mnożenie (10N+5)(10N+5) i zastanów się, jaki jego wynik ma związek z opisaną wyżej sztuczką.

liczby doskonałe

Anonymous — Sun, 02 Mar 2008 11:32:19 CST

Liczby doskonałe nieparzyste nie istnieją.Oto dowod. Niech w(p^n) będzie ilorazem sumy dzielnikow n-tej potęgi liczby pierwszej p przez tę liczbę.(^oznacza potęgowanie) Nazwijmy w(p^n) wagą n-tej potęgi liczby pierwszej. Ponieważ sumę dzielników określa funkcja sigma znana z teorii liczb i oznaczana σ(n) więc wagę n-tej potęgi liczby pierwszej możemy zdefiniować jako: w(p^n)= σ(p^n):(p^n) (1) Podstawiając za σ(p^n)=[p^(n+1)-1]:(p-1) do wzoru (1) i po prostych przekształceniach dostajemy: w(p^n)=[p^(n+1)-1]:[p^(n+1)-p^n] (2) Wzor (2) tylko w zapisie komputerowym wygląda mało ciekawie w rzeczywistości jest ułamkiem zwykłym niewłaściwym ktorego licznik jest sumą dzielników n-tej potęgi liczby pierwszej a mianownik n-tą potęgą liczby pierwszej. Dla przykłdy obliczmy wagi kilku liczb pierwszych i ich potęg: w(2)=3/2 w(3)=4/3 w(5)=6/5 w(p)=(p+1)/p w(2^2)=7/4 w(3^2)=13/9 w(5^2)=31/25 w(2^3)=15/8 w(3^3)=40/27 w(5^3)=156/125 w(2^4)=31/16 w(3^4)=121/81 w(5^4)=781/625 w(2^n)=2 w(3^n)=3/2 w(5^n)=5/4 dla n dążącego do nieskończoności Oczywiście wagę liczby złożonej można zdefiniować jako iloczyn wag n-tych potęg liczb pierwszych wynikających z rozkladu na czynniki pierwsze.Oto przyklady: Obliczmy wagę liczby 100.Rozkładamy ją na czynniki:100=2^2*5^2 i korzystając z tabelki otrzymujemy w(100)=7/4 * 31/25=217/100 Rzeczywiście suma dzielnikow liczby 100 wynosi 217. Obliczmy wagę liczby 496.Rozkładamy na czynniki:2^4*31 w(496)=31/16 *32/31=2 a jak wiemy 496 jest liczbą doskonałą. Sformułujmy oczywisty zresztą warunek ,że liczba doskonała posiada wagę rowną 2. Poszukując liczby doskonałej nieparzystej jest oczywiste ,że w rozkładzie na czynniki pierwsze nie może mieć liczby 2. Ale jednocześnie waga takiej liczby musi wynosić 2. Przyjrzyjmy się wagą n-tych potęg nieparzystych liczb pierwszych. Zwroćmy uwagę czym są liczniki a czym mianowniki.Jak rozkładają się na czynniki pierwsze liczniki wag a jak mianowniki.W licznikach i mianownikach wag występują zawsze rożne liczby pierwsze. Tak więc hipotetyczna liczba doskonała nieparzysta jest iloczynem pewnych wag n-tych potęg liczb pierwszych nieparzystych czyli w liczniku wag posiada iloczyny innych liczb pierwszych niż w mianowniku więc nigdy nie skróci się do liczby naturalnej.Tak więc waga takiej liczby nie może wynieść 2 co jest warunkiem doskonałości liczby. Wniosek nasuwa się oczywisty -taka liczba nie istnieje. co należało dowieść ps.jako ciekawostka liczba 2^n jest też doskonała pod warunkiem wszak że n jest nieskończone. Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedysta:Witkal71/Liczby_doskona%C5%82e"

* Dziury między liczbami pierwszymi

Anonymous — Sat, 23 Feb 2008 11:46:28 CST

Wiesz, oczywiście, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Zastanawianie się nad ich rozmieszczeniem między wszystkimi liczbami naturalnym rodzi szereg interesujących pytań matematycznych. Oto jedno z takich pytań: Czy „odstępy” między kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie duże?
Na pierwszy rzut oka pytanie to może się wydać komuś trudne. W istocie jest bardzo łatwe. W uzyskaniu odpowiedzi może nam pomóc odrobinkę inne sformułowanie problemu: czy potrafisz znaleźć dowolnie długi ciąg kolejnych liczb naturalnych, które wszystkie będą złożone?

Oczywiście. Użyjemy w tym celu pojęcia silni. Symbolem N! (czyta się N – silnia) oznaczamy mianowicie iloczyn liczby N i wszystkich liczb naturalnych od niej mniejszych; innymi słowy

N! = 1 × 2 × 3 ×… ×N

Jest zrozumiałe, że każda z liczb 2, 3,… ,N jest dzielnikiem liczby N!. Ale wobec tego N!+2 jest liczbą podzielną przez 2, N!+3 jest podzielne przez 3, i tak dalej. Ogólnie: N!+k jest podzielne przez k dla wszystkich k = 2,… ,(N-1). Skonstruowaliśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych o długości (N-1). Ponieważ zaś N może być zupełnie dowolne, więc dowiedliśmy, że między dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi mogą występować odstępy dowolnie duże.

Propozycja:

Znajdź takie dwie kolejne liczby pierwsze, by odstęp między nimi wynosił co najmniej 10 Komentarz do artykułu. Tytuł artykułu i ostatnie zdanie mogą być jednak mylące ponieważ maksymalne odstępy między liczbami pierwszymi rzeczywiście wzrastają
ale ze wzrostem liczb.Oznacza to ,że możemy pomyśleć dowolny odstęp między liczbami pierwszymi ale te liczby będą mniej więcej tej samej
wielkości co odstęp więc o żadnej dziurze nie może być mowy.Zresztą to wynika z udowodnionego i bardziej sformułowanego tw.Czebyszewa , ze
między liczbą n a 2n istnieją co najmniej dwie liczby pierwsze.Bardziej zaawansowana teoria pokazuje ,że nastepna liczba pierwsza po p nie może
być większa niż (3p+1)/2 ale to jeszcze nie zostało udowodnione choć ma to ścisły związek z ciągiem Collatza.

*** Reguła znaków Kartezjusza

Anonymous — Mon, 18 Feb 2008 10:39:18 CST

Spójrzmy na taki oto wielomian:
Spójrzmy na taki oto wielomian:

= 3x10

i zastanówmy się: czy można coś powiedzieć o liczbie jego dodatnich i rzeczywistych pierwiastków (miejsc zerowych) bez głębszej analizy tego wielomianu i jakichś skomplikowanych obliczeń?

Problem rozwiązuje twierdzenie udowodnione w 1637 roku przez Kartezjusza, znane jako reguła znaków (jego imienia). Otóż liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu jest wyznaczona przez liczbę zmian znaków jego współczynników. Karol Gauss wykazał później, że liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności ma tę samą parzystość jak liczba zmian znaków współczynników.

Wracając do naszego przykładowego wielomianu: wynika stąd, że ma on co najwyżej jeden dodatni pierwiastek rzeczywisty – a stąd już wynika, że dokładnie jeden.

Łatwy wniosek z reguły Kartezjusza orzeka, że liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych wielomianu f(x) jest określona przez liczbę zmian znaków współczynników wielomianu f(-x); a wobec tego liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych naszego wielomianu jest 1 lub 3.

Propozycja:

Spróbuj udowodnić regułę znaków Kartezjusza dla wielomianów stopnia drugiego (trójmianów kwadratowych). Dowód tej reguły w ogólnym przypadku wymaga zastosowania indukcji matematycznej względem stopnia wielomianu.

*** Nieskończone sumowania i liczba π

Anonymous — Sat, 16 Feb 2008 10:35:16 CST

Być może wiesz, że nieskończona suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych jest nieskończona (mówiąc fachowym językiem matematyków, szereg harmoniczny jest rozbieżny). Zapiszmy to symbolicznie:)

Mam nadzieję, że wiesz, iż znak

oznacza sumę wartości pewnej funkcji f(k), przy czym sumujemy od wartości k = m do wartości k = p. Inaczej, jest to f(m) + f(m+1) + … + f(p). Ten zapis z nieskończonością to zatem skrót czegoś takiego:

1 +

No i teraz kilka zadziwiających faktów. Otóż jeżeli będziemy sumowali nieskończenie nie odwrotności kolejnych liczb naturalnych – jak powyżej – ale odwrotności ich kwadratów, to otrzymamy nie nieskończoność, ale liczbę skończoną; nic w tym jeszcze nie ma specjalnie zastanawiającego i dość łatwo coś takiego udowodnić mając bardzo niewielką wiedzę z zakresu Analizy Matematycznej. Zaskakujące jest to, że owa liczba jest bardzo wyraźnie związana z liczbą π (3,14159265… - jest to, przypominam, stosunek obwodu dowolnego okręgu do jego średnicy, a więc stała o charakterze – z pozoru – silnie „geometrycznym”). Mianowicie owa suma, to po prostu kwadrat π podzielony przez sześć.

Co więcej, silnie związane z liczbą π są również nieskończone sumy odwrotności kolejnych parzystych potęg liczb naturalnych. I tak, suma odwrotności czwartych potęg, to π do potęgi czwartej dzielone przez 90, suma odwrotności szóstych potęg – to π do szóstej dzielone przez 945…

Uzupełnienie:

Bardzo mało – jak dotychczas – wiadomo o nieskończonych sumach odwrotności nieparzystych potęg liczb naturalnych. W zasadzie wiemy dziś tylko tyle, że nieskończona suma odwrotności sześcianów jest niewymierna. Suma x-tych potęg odwrotności liczb naturalnych jest – gdy ją rozważać jako funkcję zmiennej zespolonej x – niesłychanie znaną i ważną funkcją; nosi nazwę funkcji zeta Riemanna. Ma ona bardzo głęboki i trudny związek z liczbami pierwszymi.

* Proste pytanie bez odpowiedzi

Anonymous — Tue, 05 Feb 2008 14:32:18 CST

Oto jeszcze jedna bardzo prosta w sformułowaniu, a niezmiernie trudna do dowiedzenia hipoteza; tak trudna, że dotychczas nierozstrzygnięta.

Zbudujemy ciąg liczb naturalnych następująco:

1. Jako pierwszy wyraz wybieramy dowolną liczbę naturalną n
2. Jeśli któraś liczba w ciągu jest parzysta, to dzielimy ją przez dwa i wynik przyjmujemy jako

Spróbujmy przećwiczyć to na kilku przykładach. Oto próby:

n=3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=4; 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Ciekawe… czyżbyśmy zawsze dochodzili w ten sposób do jedynki – a potem do powtarzającego się cyklu 4,2,1,4,2,1,…?
Przypuszczenie, że tak właśnie jest, nosi nazwę hipotezy Collatza.

Nikomu nie udało się jej dotychczas udowodnić. Z drugiej strony wielokrotnie powtarzane obliczenia komputerowe dają za każdym razem właśnie ten rezultat, więc prawdziwość hipotezy jest wielce prawdopodobna!

Ciekawostka: najdłuższy ciąg zaczynający się od liczby mniejszej niż 100, prowadzący do finałowej sekwencji 1, 4, 2, 1, ... otrzymujemy zaczynając całą operację od liczby 27.

Hipoteza Collatza jest słuszna.Oto krótki dowód albo właściwie komentarz do dowodu.
Załózmy , że istnieje pewna liczba n , taka że ciąg Collatza jest rozbieżny lub się zapętla.Założenie to pociąga fakt, że dla liczb od 1 do n-1 generowane są ciągi Collatza zgodne z hipotezą. Komentarz:Nie przesądzając ile jest takich liczb weżmy tę najmniejszą.
Zastanowmy się czy taką liczbą n może być liczba parzysta.Otoż nie gdyż pierwszy wyraz wygenerowany przez ten ciąg będzie n/2 a jak powiedziano powyżej wszystkie liczby mniejsze od n generują ciąg Collatza zgodny z hipotezą. Czyli na generatory ciągu Collatza pretendują tylko liczby nieparzyste. Drugie istotne spostrzeżenie , to że jeśli taki ciąg istnieje to jego wyrazy muszą być większe od n i jednocześnie się nie powtarzać.I wreszczie po trzecie żaden wyraz tego ciągu nie może być równy jakiemukolwiek wyrazwi n-1 ciągów Collatza dla których znana jest odpowiedz.Czyli: 1) n jest liczbą nieparzystą 2) n generuje liczby większe od n 3) dla n wyrazy się nie powtarzają 4) dla n wszystkie wyrazy ciągu nie występują w ciągach o ktorych wiemy ,że spełniają hipotezę.
Właściwy dowod jaki przeprowadziłem polega na tzw.sicie Collatza ktorego idea sprowadza się do wykreślania kolejnych liczb naturalnych , nie spełniających warunków 2-4. W kolumnach są generatory generujące pierwsze wyrazy ciągu Collatza.Ponieważ za generatory używamy liczb nieparzystych więc ustawione są tak ,że w danej kolumnie są liczby kończące się tą samą cyfrą:
1-4 .. 3-10 5-16 7-22 9-28
11-34 13-40 15-46 17-52 19-58
21-64 23-70 25-76 27-82 29-88
31-94 33-100 35-106 37-112 39-118
41-124 43-130 45-136 47-142 49-148
51-154 53-160 55-166 57-172 59-178
**1- **4 **3 - **0 ** 5- **6 **7- **2 **9- **

**-dowolny ciąg cyfr

Wykreślamy wszystkie liczby podzielne przez 4 wraz z ich generatorami Komentarz:Dlatego przez 4 ,że kolejne wyrazy nie będą spelniać warunku 2 Z nie wykreślonych tworzymy kolejne sito(generator-drugi wyraz ciągu)
11-17 | 3-5 | 15-23 | 7-11 | 19-29
31-47 | 23-35 | 35-53 | 27-41 | 39-59
51-77 | 43-65 | 55-83 | 47-71 | 59-89
Teraz wykreślamy te liczby ktore pojawiły się w pierwszym sicie (nie spełniony warunek 4) i tworzymy kolejne sito(generator-trzeci wyraz ciągu) i postępujemy tak jak poprzednio.I co się okazuję że postępując tak k razy wykreślimy wszystkie liczby naturalne.Czyli w sicie nie zostanie nic co oznacza że nie istnieje taka liczba n generująca ciąg Collatza ktora nie spełnia hipotezy CO KOŃCZY DOWÓD.

ps. przepraszam za mało czytelne tabelki

** Słynna hipoteza Goldbacha

Anonymous — Tue, 05 Feb 2008 11:32:32 CST

Oto jeden z najsłynniejszych problemów matematycznych, liczący sobie już ponad ćwierć tysiąclecia (sformułowany w roku 1742), a dotychczas nierozwiązany; nawiasem mówiąc, z uwagi na prostotę sformułowania obiekt ciągłych prób najrozmaitszych domorosłych matematyków, którzy zamęczają profesjonalistów swymi „dowodami”. Nie zniechęcając nikogo: jeżeli najsłynniejsi matematycy świata nie dali sobie z tym rady przez tyle czasu, to osoby bez najwyższego wykształcenia matematycznego niech raczej dadzą sobie spokój. Hipoteza Goldbacha jest piekielnie trudna!

A oto ona, tak jak się ją formułuje obecnie: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Oto kilka prostych przykładów:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
…
100 = 53 + 47…

Uzupełnienie:

Co wiemy na ten temat dotychczas? Lew Sznirelmann (matematyk rosyjski) udowodnił w roku 1930, że istnieje taka liczba N, iż poczynając od pewnej liczby wszystkie następne dadzą się zapisać w postaci sumy nie więcej niż N liczb pierwszych. Ten sam uczony wykazał w rok później, że każda liczba naturalna większa niż 1 jest sumą nie więcej niż 300000 liczb pierwszych. Z kolei w roku 1937 inny matematyk rosyjski, Iwan Winogradow, udowodnił, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta jest sumą trzech liczb pierwszych. Wreszcie w roku 1966 Chińczyk Chen Jingrun, uważany przez wielu za najwybitniejszego matematyka tego kraju (żył w latach 1933-1996), dowiódł, że każda dostatecznie duża liczba parzysta jest sumą pewnej liczby pierwszej i liczby „niemal pierwszej”, to znaczy takiej, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze.
Nawiasem mówiąc, za pomocą komputera zweryfikowano hipotezę Goldbacha dla wielu milionów początkowych liczb parzystych. Oczywiście, gdyby chodziło nawet o wiele miliardów czy bilionów liczb - nie byłby to żaden dowód. To tylko bardzo poważna przesłanka, przemawiająca za tym, że Goldbach miał rację.

Przykład doskonałej struktury powstałej z chaosu.
Czy zastanawialiście się kiedyś co wspólnego ma Kosmos i liczba?
Pewnie odpowiecie ,że liczby są po to by opisywały Wszechświat w abstrakcyjnych modelach przypisując pewnym
cechom wartości.Zgoda ale jaka jest natura liczb?Tego nikt nie wie , ale można się tylko domyślać że jest w zgodzie z naturą
tego co opisuje.Jeśli tak to podpatrując naturę i domyślając się po przez różne modele teoretyczne coś nie coś o naturze liczb
możemy powiedzieć.Czy istnieją jakieś analogie między "światem liczb" a światem fizycznym?Poniżej w tym artykule spróbuję
doszukać się takowych nie roszcząc sobie tytułu do naukowości artykułu a raczej zaproponować czytelnikowi chwilę refleksji.
Jeżeli przyjąć pogląd ,że Wszechświat wyłonił się z chaosu doprowadzając do stanu obecnego nie wdając się w szczegóły
jak to się odbyło zastanówmy czy wśród liczb(chodzi o naturalne) nie ma takich , ktore kojarzą się nam z chaosem.Odpowiedź
jest tutaj stosunkowo prosta-chodzi o liczby pierwsze.Panuje powszechny pogląd graniczący z pewnością ,że liczby pierwsze
są rozmieszczone na osi liczbowej chaotycznie-nie rządzą nimi pozornie żadne prawa które pozwoliłyby nam jednoznacznie
wszystkie je opisać.Co prawda znane są pewne ciągi które generują liczby pierwsze ale nie istnieje jeden , który by je wszystkie opisał. A wiemy równieź ,że liczb pierwszych jest nieskończona ilość.Jeśli widzicie już analogie to zastanówmy się jak chaos
(liczby pierwsze) może wygenerować porzadek(liczby naturalne prezentują porządek bo znając poprzednik potrafimy podać
następnik).Dla matematyka jest oczywistością ,ze każda liczba naturalna jest pewną "kombinacją" pewnych liczb pierwszych.
Nie wdając się w formalizm można spytać :a jaka kombinacja jest najprostsza bo w świecie fizycznym doszukujemy się prawd
podstawowych czyli najprostszych.I tu jak się wydaję stereotyp myślenia matematyka zostanie poddany ciężkiej probie.
Jeśli nie czujesz jeszcze problemu to spytam inaczej :jak liczby pierwsze mogą wygenerować zbor liczb naturalnych czyniąc
to w najprostszy sposob.Podpowiedź pochodzi ze świata fizycznego:łaczą się w pary oraz triple czyli się dodają.
Matematyk od razu wytknie: mam Cię podając nie udowodnioną hipotezę Goldbacha(każda liczba parzysta większa od 2 jest
sumą dwóch liczb pierwszych).No to ja na to dorzucę hipotezę Goldbacha2008 ,że każda liczba złożona nieparzysta jest
sumą trzech liczb pierwszych-teź nie udowodnioną) I co z tego wynika - że jak dorzucę 1 to mam cały zbiór liczb naturalnych.
Pojawia się problem fundamentalny:które podejście jest bliższe prawdy-czy to ,że każda liczba naturalna(bez 1) jest kombinacją
liczb pierwszych czy też że rozmieszczenie liczb pierwszych jest takie ,że zapewnia sumom dwóch liczb pierwszych i sumom trzech liczb pierwszych zapełnić oś liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi(bez1).Jeśli czytelniku nie dostrzegasz rożnicy
to zważ ,ze to drugie podejście podnosi problem hipotezy Goldbacha do rangi aksjomatu i tłumaczy dlaczego do tej pory
nie udało się nikomu tej hipotezy udowodnić.Jeśli przyjąć podejście które zaprezentowałem to można powiedzieć tak:
1.Podstawowymi "cegiełkami" świata liczb są liczby pierwsze.
2.Liczby te dodając się parami tworzą zbiór liczb naturalnych parzystych(aksjomat Goldbacha)
3.Liczby te dodając się trójkami tworzą zbiór liczb naturalnych złożonych nieparzystych(aksjomat Goldbacha2008)
4.pkt1,2,3 wraz z liczbą 1 wyznaczają jednoznacznie doskonałą strukturę jaką jest zbiór liczb naturalnych
Proste co!
PS.O tym czy istnieje liczba większa od każdej naturalnej w następnym odcinku.

** Twierdzenie Napoleona

Anonymous — Mon, 12 Nov 2007 10:28:11 CST

Rozważmy dowolny

Podobno twierdzenie to udowodnił Napoleon, który bardzo lubił matematykę. Niektórzy jednak w to wątpią, uważając, że cesarz miał jednak na to zbyt małą wiedzę matematyczną.
Banalny (ale wymagający sporo obliczeń) dowód tego twierdzenia uzyskamy wykorzystując metody geometrii analitycznej. Jeśli chcesz próbować inaczej – podpowiadamy: zacznij od rozważenia przypadków bardzo szczególnego doboru trójkąta wyjściowego. Specjalnie ciekawy jest przypadek, w którym jeden z jego boków ma długość bardzo bliską zeru.

** Różnica kwadratów i szybkie liczenie

Anonymous — Fri, 19 Oct 2007 06:45:59 CDT

Wszyscy wiemy doskonale, że

Czy jednak wpadło wam kiedyś do głowy, że ten prosty wzór można niekiedy doskonale wykorzystać do wykonywania błyskawicznych obliczeń w pamięci?

Popatrzcie na poniższe przykłady mnożeń:

43 × 37
78 × 82
36 × 24
29 x 31

Zajmijmy się razem pierwszym z nich: 43 × 37 = (40 + 3)(40 - 3) = 402 - 32 = 1600 - 9 = 1591.

Propozycja: sami wykonajcie pozostałe obliczenia. Zastanówcie się też: kiedy zastosowanie tej sztuczki ma sens? No i starajcie się twórczo – i możliwie niestandardowo – myśleć o wszystkich faktach i związkach matematycznych, które poznajecie!

** Wzór na liczby pierwsze

Apps — Wed, 13 Jun 2007 08:55:34 CDT

Nie ma chyba matematyka, który we wczesnej młodości nie zadałby sobie (lub swemu nauczycielowi) pytania: czy istnieje jakiś wzór na liczby pierwsze?
Popatrzmy na wielomian

i podstawiajmy w nim za n kolejne liczby od 0 do 39. Zobaczymy, że w wyniku otrzymamy zawsze liczbę pierwszą. Oczywiście, w pewnym momencie się to skończy (dla n = 40 otrzymamy 1681 czyli 412 ).

Niestety, żadnego tak prostego wzoru jak powyższy (tzn. wielomianu o współczynnikach całkowitych), który dla wszystkich n dawałby liczby pierwsze – nie ma i być nie może.

Przy okazji: mamy oto świetny przykład, że sprawdzenie jakiejś prawidłowości nawet dla dość dużej liczby pojedynczych przypadków nie upoważnia nas jeszcze do uznania jej za prawdziwą ogólnie. Ciekawe, że ludzie stosunkowo łatwo godzą się z tym, że nawet jak po kolei spotkali na ulicy 100 mężczyzn, to osobą o numerze 101 może być kobieta; natomiast gdy jakiś związek matematyczny jest prawdziwy dla stu kolejnych liczb, to rodzi to silne podejrzenie, że jest on prawdziwy ogólnie…

Nie znaczy to, że nie ma w ogóle wzorów na liczby pierwsze. Sęk jednak w tym, że są one stosunkowo mało użyteczne; jak na przykład taki oto, uzyskany przez Millsa w roku 1947:

f(x, n) = największa liczba całkowita mniejsza od (X do potęgi 3 w potędze n), gdzie X = 1,3064…

Wygląda niezbyt wrednie, ale zastanów się jak szybko ta wartość rośnie! Rachowanie za pomocą tej formuły byłoby w praktyce całkiem bez sensu.

Przy okazji: rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych jest bardzo nierównomierne. W pierwszej dziesiątce mamy cztery (zatem 40%), w pierwszej setce 25 (czyli 25%). Milion pierwszych liczb naturalnych zawiera już tylko 8% liczb pierwszych. Co ciekawe, znamy dość prosty wzór, pozwalający z dobrym przybliżeniem oszacować liczbę liczb pierwszych wśród N liczb naturalnych (daje tym dokładniejszy wynik im N jest większe):

** Trójkąt Pascala

Anonymous — Sun, 11 Mar 2007 08:00:22 CDT

Popatrz na taki oto – poustawiany w wierszach – ciąg licz.

.............

Domyśl się rządzącej tym ustawieniem reguły; jest dość prosta.
Jeśli jej nie jeszcze dostrzegasz, spójrz na poniższy rysunek:

Teraz chyba widać

I tak dalej. To bardzo pożyteczna uwaga: przecież znając ten fakt możemy zapomnieć o uczeniu się na pamięć wzorów na potęgowanie!

Tak na marginesie: spróbuj podnosić do kolejnych potęg liczbę 11. Dostaniesz kolejno (poczynając od potęgi zero):

1, 11, 121, 1331,...

i ta prawidłowość (zakładamy, że ją widzisz) nie powinna Cię wcale zdziwić, jeżeli uświadomisz sobie, że 11 = 10 + 1.

Propozycja:

Uzupełnij trójkąt Pascala kilkoma kolejnymi wierszami. Oblicz także szybko 114, 115, 116.

*** Zadanie Buffona o igle

bogmis — Wed, 10 Jan 2007 02:54:58 CST

Narysujmy na płaszczyźnie rodzinę prostych równoległych co 1 cm. Rzucajmy teraz na płaszczyznę całkowicie przypadkowo igłę o długości 1 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła ta przetnie którąś z linii?

Odpowiedź jest dla nieznających rachunku prawdopodobieństwa wręcz porażająca. Mianowicie, prawdopodobieństwo owo wynosi

2/π

Wynik ten – podawany w tym miejscu bez trudnego dowodu – pozwala na zbudowanie ciekawego algorytmu obliczania wartości π. Jeśli mianowicie będziemy rzucać na tak poliniowaną płaszczyznę wielką liczbę igieł, to stosunek liczby igieł przecinających którąś z linii do liczby igieł nieprzecinających żadnej z nich będzie tym bliższy liczbie 2/π, im więcej igieł rzucimy. Aby obliczyć π z dowolną dokładnością wystarczy zatem dostatecznie wiele razy rzucić igłą!

Nieprzyjemność polega na tym, że taki proces byłby bardzo długotrwały. Mówimy, że ta metoda jest wolno zbieżna. Oczywiście, możemy do symulacji procesu użyć komputera i wykorzystać jego szybkość działania, wówczas uzyskamy dostatecznie dobre wyniki dużo szybciej, niż rzucając igłę ręcznie.

Podobne metody obliczeniowe, odwołujące się do rachunku prawdopodobieństwa, są w zastosowaniach matematyki bardzo ważne. Noszą one ładną nazwę „metod Monte Carlo”, od światowej stolicy gier hazardowych.

Uzupełnienie:

Georges Leclerc de Buffon (1707-1788) to francuski przyrodnik i filozof, który wywarł istotny wpływ na rozwój przyrodoznawstwa XVIII wieku. Sformułował poglądy kosmogoniczne, w których rozwinął hipotezę pochodzenia Ziemi od Słońca w wyniku jego zderzenia z kometą; zmiany rozmieszczenia fauny i flory na Ziemi wiązał ze stopniowym ochładzaniem się klimatu wskutek stygnięcia planety. Przyjmował możliwość ograniczonej zmienności gatunków pod wpływem środowiska.

Metody Monte Carlo są to metody numerycznego rozwiązywania dwóch rodzajów zadań:

1)zadań rachunku prawdopodobieństwa i statystyki przez bezpośrednią symulację, najczęściej komputerową, odpowiedniego zjawiska losowego;

2)zadań deterministycznych (na przykład obliczanie wartości całek, rozwiązywanie różnych równań) przez konstrukcję odpowiedniego modelu wykorzystującego prawdopodobieństwo oraz statystykę i sprowadzenie w ten sposób danego zadania deterministycznego do pewnego zadania z dziedziny prawdopodobieństwa.

Współczesne metody Monte Carlo (oraz ich nazwa) powstały w okresie II wojny światowej w USA przy okazji rozwiązywania zadań związanych z fizyką atomową; ich rozwój nastąpił dzięki komputerom. Za twórców metod Monte Carlo uważa się Johna von Neumanna i Stanisława Ulama.

Indeks osób

bogmis — Sun, 02 Jul 2006 11:56:08 CDT

Blaise (Błażej) Pascal (1623-62), - to francuski matematyk, fizyk, filozof i pisarz o dość oryginalnych poglądach. Z jednej strony przyjmował za własny racjonalizm Kartezjusza, z drugiej jednak w stosunku do nauki i poznawczych zdolności ludzkiego rozumu zachowywał sceptycyzm, w szczególności głosił wyższość serca, czyli poznania uczuciowego i intuicyjnego (fideizm). Sformułował słynną zasadę, według której należy żyć tak, jakby Bóg istniał, choćby nie miało się co do tego pewności.
Pascal ma ogromny dorobek jako matematyk. Nie dość, że sformułował strasznie ważną zasadę indukcji matematycznej (będziemy o niej mówić w tej książce) oraz część podstaw rachunku prawdopodobieństwa, to jeszcze odkrył ogólne kryterium podzielności dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą oraz sposób obliczania współczynników w rozwinięciu dwumianu (x+y)n – czym właśnie zajmowaliśmy się powyżej. Jego dokonania w fizyce są też bardzo ważne – badał mianowicie ciśnienie atmosferyczne i zjawiska z zakresu hydrostatyki (tu jest też znane prawo Pascala, ale go nie przytoczymy, bo to ksiązka o matematyce, a nie fizyce). Odnotujmy jeszcze, że w 1642 r. – więc jako dziewiętnastolatek - skonstruował jedną z pierwszych maszyn do liczenia, dość prosty (ale genialnie pomyślany) sumator. Chciał podobno pomóc ojcu – który był poborcą podatków – w wykonywaniu jego zadań.

Borsuk, Karol (1905-82) to wielki polski matematyk; od roku 1938 profesor Uniwersytetu Warszawskiego, od roku 1952 członek PAN; specjalista w dziedzinie topologii, twórca słynnej teorii retraktów i teorii kształtu; autor doskonałych podręczników akademickich, w tym wspaniałej Geometrii analitycznej w n wymiarach (1950). Borsuk był autorem ok. 200 publikacji naukowych, w tym dwu monografii dotyczących teorii retraktów oraz teorii kształtu: Theory of Retracts (Monografie Matematyczne 1967, t. 44) oraz Theory of Shape (Monografie Matematyczne 1975, t. 59). W czasie okupacji wykładał na tajnych kompletach i brał udział w walce podziemnej, za co był więziony na Pawiaku.

Eratostenes z Cyreny (ok. 275 - ok. 194 p.n.e.), grecki filozof, astronom, matematyk i geograf; zajmował się także filologią, historią i muzyką. Od 236 zarządzał Biblioteką Aleksandryjską. Pierwszy dokonał pomiaru długości południka ziemskiego, wyznaczył kąt nachylenia ekliptyki do równika niebieskiego.

Euler, Leonhard Euler (1707-1783), szwajcarski matematyk, fizyk i astronom; od 1731 profesor w Petersburgu, 1741-1766 profesor w Berlinie; w roku 1766 powrócił do Petersburga, gdzie pracował (mimo całkowitej utraty wzroku) do końca życia; uważany za jednego z twórców nowoczesnej matematyki, wprowadził do niej wiele obecnie używanych oznaczeń. Opublikował ok. 900 prac naukowych, które dotyczyły niemal wszystkich znanych wówczas dziedzin matematyki, a także optyki, akustyki, mechaniki płynów, nawigacji, teorii ruchów Księżyca, budowy okrętów i in.; prace Eulera przyczyniły się szczególnie do rozwoju analizy mat., m.in. w zakresie funkcji trygonometrycznych, równań różniczkowych cząstkowych, rachunku wariacyjnego, ale też teorii liczb, teorii grafów i geometrii; Euler był również autorem wielu konstrukcji technicznych.

Gauss, Karol Fryderyk Gauss (1777-1855), niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta; uważany za jednego z największych w dziejach – obok Archimedesa i I. Newtona – matematyków świata; przez współczesnych zwany księciem matematyków. Jego prace dotyczą prawie wszystkich dziedzin matematyki, a także jej zastosowań w fizyce i astronomii. W każdej z tych dziedzin uzyskał nadzwyczaj ważne wyniki, w szczególności rozwinął teorię liczb, geometrię różniczkową, analizę matematyczną, teorię błędów (rozkład normalny); niektórych ważnych wyników nie ogłosił (o geometrii nieeuklidesowej, o teorii funkcji zespolonych).

Goldbach, Christian, urodzony w roku 1690 w pruskim Królewcu – czyli dzisiejszym Kaliningradzie – zmarły zaś w 1764 roku w Moskwie, był wielkim matematykiem rosyjskim pochodzenia niemieckiego. Swoją słynną hipotezę sformułował w liście do genialnego L. Eulera, ale nieco inaczej, niż robimy to dziś. Mianowicie, stwierdził on, iż każdą liczbę naturalną większą lub równą 6 można przedstawić w postaci sumy trzech liczb pierwszych. On również wypowiedział przypuszczenie, że każda liczba nieparzysta jest sumą co najwyżej trzech liczb pierwszych. Goldbach postawił też hipotezę dotyczącą sąsiednich liczb pierwszych, tj. par n, n + 2, gdzie obie liczby są pierwsze. Goldbach przypuszczał, że takich par jest nieskończenie wiele. Problem jest także wciąż otwarty.

Kartezjusz, Rene Descartes, (1596-1650), francuski filozof i matematyk, większość życia spędził w Holandii uciekając przed prześladowaniami ze strony Kościoła; filozofia jego opierała się na pewności, że poznanie jest dostępne każdemu dobrze pokierowanemu rozumowi. Swój dorobek w dziedzinie matematyki zawarł Descartes w traktacie La geometrie (1637); podał tam opis metody współrzędnych (kartezjański układ współrzędnych). Kartezjusz jest uważany za twórcę geometrii analitycznej, a jego badania geometrycznych własności krzywych metodami algebraicznymi doprowadziły do powstania rachunku różniczkowego i całkowego, a następnie geometrii różniczkowej. Wprowadził wiele współczesnych symboli matematycznych, a także zapoczątkował badania nad równaniami algebraicznymi.

Jeleński, Szczepan (ur. 22 grudnia 1881 w Warszawie, zm. 27 maja 1949 w Poznaniu), inżynier i pisarz, popularyzator nauki. Używał pseudonimu Bohdan Katerwa i innych.. Napisał komedie Urwis (1918) i Igraszki z ogniem, a także nastrojową sztukę Przechodzień (1921); autor książek Lilavati, Śladami Pitagorasa, Pod strażą Sfinksa i innych. Uprawiał też publicystykę o tematyce religijnej. W okresie międzywojennym był dyrektorem "Księgarni św. Wojciecha" w Poznaniu (ta informacja pochdozi z Wikipedii)

Newton, Sir Isaac Newton (1643–1727) to angielski fizyk, astronom i matematyk; w roku 1705 otrzymał szlachectwo. Jego prace dotyczyły prawie wszystkich działów fizyki. W najważniejszym dziele, Philosophiae naturalis principia mathematica (1687), rozwinął naukę oprzestrzeni, czasie, masach i siłach, podając ogólny schemat rozwiązywania konkretnych problemów mechaniki, fizyki i astronomii; sformułował trzy prawa dynamiki oraz prawo powszechnego ciążenia; na ich podstawie opracował m.in. teorię ruchu planet, uzasadnił trzy prawa Keplera, wyjaśnił zjawisko precesji oraz zjawisko przypływu i odpływu. Prace Newtona wzakresie optyki dotyczyły m.in. zasad optyki geometrycznej, dyspersji światła, jego interferencji; w roku 1672 wysunął koncepcję korpuskularnej budowy światła. Opublikowaną w 1701 jego pracę oskali stopni ciepła i zimna często uważa się za początek nauki o cieple. W dziedzinie matematyki Newton, wraz z G. W. Leibnizem, jest współodkrywcą rachunku różniczkowego i całkowego; w roku 1669 przedstawił metodę numerycznego rozwiązywania równań, podał klasyfikację krzywych trzeciego stopnia na 72 rodzaje.

Neumann, John von (John von Neumann )(1903-1957), to matematyk amerykański pochodzenia węgierskiego, uważany za jednego z największych matematyków XX w.; podał m. in. teoretyczne zasady budowy komputerów (był współtwórcą pierwszych takich maszyn); napisał liczne prace na temat matematycznych podstaw mechaniki kwantowej, teorii mnogości, analizy funkcjonalnej, teorii gier i wielu innych działów matematyki teoretycznej, jak również jej zastosowań.

Pitagoras z Samos (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.), grecki matematyk i filozof; półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejczyków w Krotonie. Nie pozostały po nim żadne pisma, więc trudno jest dokładnie odtworzyć jego poglądy, a uczniowie chętnie przypisywali mu swoje koncepcje. Jest uważany za twórcę początków teorii liczb. Przypisywane mu twierdzenie o trójkącie prostokątnym było znane dużo przed jego urodzeniem.

Riemann, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66) to genialny niemiecki matematyk i fizyk, autor podstawowych prac z teorii funkcji analitycznych i teorii liczb (hipoteza Riemanna – dotychczas nierozstrzygnięta i uważana za jeden z najtrudniejszych problemów matematycznych, jakie kiedykolwiek sformułowano – orzeka, że wszystkie miejsca zerowe omówionej wyżej funkcji zeta Riemanna leżą na pewnej prostej); twórca specjalnego rodzaju wielowymiarowej geometrii metrycznej (również nosi jego imię), która znalazła ważne zastosowanie w fizyce (m.in. w ogólnej teorii względności Einsteina). Zajmował się również szeregami trygonometrycznymi i teorią całki (całka Riemanna); jego prace wywarły olbrzymi wpływ na rozwój matematyki, niemal każda dała początek jakiejś teorii matematycznej.

Ulam, Stanisław Marcin (1909-84) to matematyk amerykański pochodzenia polskiego; początkowo związany z lwowską szkołą matematyczną. Od 1936 roku w USA. W latach 1944-67 pracował w ośrodku badań jądrowych w Los Alamos, wraz z Edwardem Tellerem współtwórca pierwszej amerykańskiej bomby wodorowej; prace głównie z teorii mnogości, teorii miary, topologii, teorii grup, rachunku prawdopodobieństwa, a także z zakresu techniki, informatyki, związków matematyki z biologią.

John von Neumann

bogmis — Sun, 02 Jul 2006 11:54:21 CDT

John von Neumann (1903-1957), to matematyk amerykański pochodzenia węgierskiego, uważany za jednego z największych matematyków XX w.; podał m. in. teoretyczne zasady budowy komputerów (był współtwórcą pierwszych takich maszyn); napisał liczne prace na temat matematycznych podstaw mechaniki kwantowej, teorii mnogości, analizy funkcjonalnej, teorii gier i wielu innych działów matematyki teoretycznej, jak również jej zastosowań.

*** Krojenie figury wypukłej

bogmis — Sun, 02 Jul 2006 11:46:39 CDT

Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wypukłego: jest to taki zbiór, że jeśli należą do niego dwa jakieś punkty, to należy również cały odcinek, łączący te punkty.

Weźmy teraz pod uwagę dowolną figurę wypukłą płaską i jej brzeg; załóżmy, że ten brzeg jest „przyzwoitą” krzywą ciągłą, bez żadnych dziurek, ani zapętleń. Poprowadźmy przez dowolny punkt tego brzegu prostą tak, by przecięła naszą figurę jeszcze w jednym punkcie (taką prostą nazywamy cięciwą). Oczywiście, mocą wypukłości, środek tak powstałego odcinka leży wewnątrz naszej figury. Nazwijmy go środkiem cięciwy.

Odwróćmy sytuację: weźmy teraz dowolny punkt we wnętrzu naszej figury. Czy istnieje cięciwa, dla której ten punkt jest środkiem?

Odpowiedź jest pozytywna. Łatwo dostrzec, że tak być rzeczywiście musi. Poprowadźmy mianowicie przez nasz punkt dowolną cięciwę – i niech dzieli on odpowiedni odcinek na dwie nierówne części. Weźmy pod uwagę różnicę długości części dłuższej i krótszej. Obracajmy teraz cięciwę wokół naszego danego punktu; oczywiście ta różnica będzie funkcją (i to ciągłą) kąta obrotu. Po obrocie o 180 stopni odcinki krótszy i dłuższy zamienią się miejscami; innymi słowy mówiąc, różnica ich długości będzie teraz ujemna.

No, ale skoro funkcja ciągła na danym przedziale ma różne znaki na jego końcach, to gdzieś po drodze musi przyjąć wartość zero; jeśli zaś tak, to dla pewnego kąta różnica długości obu odcinków staje się zerem, czyli odcinki są równej długości. Czyli nasz wyjściowy punkt jest istotnie środkiem dla pewnej cięciwy.

Trochę trudniejsze: czy istnieje w rozważanej figurze punkt, będący jednocześnie środkiem dwóch różnych cięciw?
Znów odpowiedź jest pozytywna. Weźmy pod uwagę jakąś rodzinę równoległych cięciw naszej figury. Ich środki ułożą się na pewnej krzywej ciągłej, zgoda? Weźmy więc inną rodzinę równoległych cięciw; ich środki znów ułożą się w pewną krzywą ciągłą. Obie te krzywe muszą się gdzieś wewnątrz naszej figury przeciąć; punkt przecięcia jest szukanym punktem, będącym jednocześnie środkiem dwóch cięciw.

Najtrudniejsze: czy istnieje wewnątrz naszej figury punkt, będący środkiem trzech cięciw?
Myśl, myśl. Komu się uda rozwiązać ten problem – może uznać, że ma wybitny talent matematyczny.

** W związku z twierdzeniem Pitagorasa

bogmis — Sun, 02 Jul 2006 11:23:23 CDT

Jak dwa kwadraty zamienić na jeden o polu równym sumie pól kwadratów wyjściowych? A dokładniej: jak pociąć dwa kwadraty na takie kawałki, z których dałoby się ułożyć inny kwadrat?

Kto zna twierdzenie Pitagorasa, nie będzie z tym miał z tym zadaniem większych problemów (w każdym razie z pierwszym sformułowaniem). Podobno zresztą właśnie Pitagorasowi przypisuje się jego pierwsze rozwiązanie, ale – jak twierdzą historycy matematyki – ludzie zajmowali się nim dużo wcześniej, na 1000-1500 lat przed czasami Wielkiego Greka.

Na rysunku powyżej czerwony kwadrat jest sumą (w sensie naszego zadania) kwadratów niebieskiego i żółtego. Konstrukcja jest chyba oczywista i polega na łatwym zbudowaniu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne są równe bokom kwadratów wyjściowych; wówczas kwadrat, zbudowany na przeciwprostokątnej ma żądane pole. Jak jednak zrobić konkretne cięcia, żeby z kwadratów wyjściowych złożyć ten duży?
Na przykład – tak oto.

Ułóżmy dwa wyjściowe kwadraty w figurę ABCDEF. Odłóżmy na boku AF odcinek FQ = AB i potnijmy naszą figurę wzdłuż odcinków EQ i BQ. Przełóżmy następnie trójkąt BAQ w miejsce BCP, a trójkąt EFQ w miejsce EDP. Otrzymamy w ten sposób kwadrat EQBP zawierający wszystkie części danych dwóch kwadratów. Jego bok jest równy przeciwprostokątnej EQ trójkąta prostokątnego EFQ, a boki danych dwóch kwadratów stanowią jego przyprostokątne EF i FQ. Równość trójkątów BAG, BCP, EFQ i EDP oraz fakt, że EQBP jest kwadratem, to chyba oczywistości?

Pitagoras

bogmis — Sun, 02 Jul 2006 11:18:15 CDT

Pitagoras z Samos (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.), grecki matematyk i filozof; półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejczyków w Krotonie. Nie pozostały po nim żadne pisma, więc trudno jest dokładnie odtworzyć jego poglądy, a uczniowie chętnie przypisywali mu swoje koncepcje. Jest uważany za twórcę początków teorii liczb. Przypisywane mu twierdzenie o trójkącie prostokątnym było znane dużo przed jego urodzeniem.