Have a Wetpaint account? Sign in
- EasyEdit
- Edit tags
- Email page
-
(what's this?What are these tools?
People just like you can add or edit the content on this site. If you want to try editing, but aren't ready to add to this site, try our demo area.
Read more about editing pages at Wetpaint Central.
)
liczby doskonałe
Liczby doskonałe nieparzyste nie istnieją.Oto dowod. Niech w(p^n) będzie ilorazem sumy dzielnikow n-tej potęgi liczby pierwszej p przez tę liczbę.(^oznacza potęgowanie) Nazwijmy w(p^n) wagą n-tej potęgi liczby pierwszej. Ponieważ sumę dzielników określa funkcja sigma znana z teorii liczb i oznaczana σ(n) więc wagę n-tej potęgi liczby pierwszej możemy zdefiniować jako: w(p^n)= σ(p^n):(p^n) (1) Podstawiając za σ(p^n)=[p^(n+1)-1]:(p-1) do wzoru (1) i po prostych przekształceniach dostajemy: w(p^n)=[p^(n+1)-1]:[p^(n+1)-p^n] (2) Wzor (2) tylko w zapisie komputerowym wygląda mało ciekawie w rzeczywistości jest ułamkiem zwykłym niewłaściwym ktorego licznik jest sumą dzielników n-tej potęgi liczby pierwszej a mianownik n-tą potęgą liczby pierwszej. Dla przykłdy obliczmy wagi kilku liczb pierwszych i ich potęg: w(2)=3/2 w(3)=4/3 w(5)=6/5 w(p)=(p+1)/p w(2^2)=7/4 w(3^2)=13/9 w(5^2)=31/25 w(2^3)=15/8 w(3^3)=40/27 w(5^3)=156/125 w(2^4)=31/16 w(3^4)=121/81 w(5^4)=781/625 w(2^n)=2 w(3^n)=3/2 w(5^n)=5/4 dla n dążącego do nieskończoności Oczywiście wagę liczby złożonej można zdefiniować jako iloczyn wag n-tych potęg liczb pierwszych wynikających z rozkladu na czynniki pierwsze.Oto przyklady: Obliczmy wagę liczby 100.Rozkładamy ją na czynniki:100=2^2*5^2 i korzystając z tabelki otrzymujemy w(100)=7/4 * 31/25=217/100 Rzeczywiście suma dzielnikow liczby 100 wynosi 217. Obliczmy wagę liczby 496.Rozkładamy na czynniki:2^4*31 w(496)=31/16 *32/31=2 a jak wiemy 496 jest liczbą doskonałą. Sformułujmy oczywisty zresztą warunek ,że liczba doskonała posiada wagę rowną 2. Poszukując liczby doskonałej nieparzystej jest oczywiste ,że w rozkładzie na czynniki pierwsze nie może mieć liczby 2. Ale jednocześnie waga takiej liczby musi wynosić 2. Przyjrzyjmy się wagą n-tych potęg nieparzystych liczb pierwszych. Zwroćmy uwagę czym są liczniki a czym mianowniki.Jak rozkładają się na czynniki pierwsze liczniki wag a jak mianowniki.W licznikach i mianownikach wag występują zawsze rożne liczby pierwsze. Tak więc hipotetyczna liczba doskonała nieparzysta jest iloczynem pewnych wag n-tych potęg liczb pierwszych nieparzystych czyli w liczniku wag posiada iloczyny innych liczb pierwszych niż w mianowniku więc nigdy nie skróci się do liczby naturalnej.Tak więc waga takiej liczby nie może wynieść 2 co jest warunkiem doskonałości liczby. Wniosek nasuwa się oczywisty -taka liczba nie istnieje. co należało dowieść ps.jako ciekawostka liczba 2^n jest też doskonała pod warunkiem wszak że n jest nieskończone. Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedysta:Witkal71/Liczby_doskona%C5%82e"
|
Latest page update: made by
Anonymous
, Mar 2 2008, 12:32 PM EST
(about this update
About This Update
witkal71@wp.pl
- anonymous
332 words added view changes - complete history) |
|
More Info: links to this page
|
There are no threads for this page.
Be the first to start a new thread.
