liczby doskonałe

Liczby doskonałe nieparzyste nie istnieją.Oto dowod. Niech w(p^n) będzie ilorazem sumy dzielnikow n-tej potęgi liczby pierwszej p przez tę liczbę.(^oznacza potęgowanie) Nazwijmy w(p^n) wagą n-tej potęgi liczby pierwszej. Ponieważ sumę dzielników określa funkcja sigma znana z teorii liczb i oznaczana σ(n) więc wagę n-tej potęgi liczby pierwszej możemy zdefiniować jako: w(p^n)= σ(p^n):(p^n) (1) Podstawiając za σ(p^n)=[p^(n+1)-1]:(p-1) do wzoru (1) i po prostych przekształceniach dostajemy: w(p^n)=[p^(n+1)-1]:[p^(n+1)-p^n] (2) Wzor (2) tylko w zapisie komputerowym wygląda mało ciekawie w rzeczywistości jest ułamkiem zwykłym niewłaściwym ktorego licznik jest sumą dzielników n-tej potęgi liczby pierwszej a mianownik n-tą potęgą liczby pierwszej. Dla przykłdy obliczmy wagi kilku liczb pierwszych i ich potęg: w(2)=3/2 w(3)=4/3 w(5)=6/5 w(p)=(p+1)/p w(2^2)=7/4 w(3^2)=13/9 w(5^2)=31/25 w(2^3)=15/8 w(3^3)=40/27 w(5^3)=156/125 w(2^4)=31/16 w(3^4)=121/81 w(5^4)=781/625 w(2^n)=2 w(3^n)=3/2 w(5^n)=5/4 dla n dążącego do nieskończoności Oczywiście wagę liczby złożonej można zdefiniować jako iloczyn wag n-tych potęg liczb pierwszych wynikających z rozkladu na czynniki pierwsze.Oto przyklady: Obliczmy wagę liczby 100.Rozkładamy ją na czynniki:100=2^2*5^2 i korzystając z tabelki otrzymujemy w(100)=7/4 * 31/25=217/100 Rzeczywiście suma dzielnikow liczby 100 wynosi 217. Obliczmy wagę liczby 496.Rozkładamy na czynniki:2^4*31 w(496)=31/16 *32/31=2 a jak wiemy 496 jest liczbą doskonałą. Sformułujmy oczywisty zresztą warunek ,że liczba doskonała posiada wagę rowną 2. Poszukując liczby doskonałej nieparzystej jest oczywiste ,że w rozkładzie na czynniki pierwsze nie może mieć liczby 2. Ale jednocześnie waga takiej liczby musi wynosić 2. Przyjrzyjmy się wagą n-tych potęg nieparzystych liczb pierwszych. Zwroćmy uwagę czym są liczniki a czym mianowniki.Jak rozkładają się na czynniki pierwsze liczniki wag a jak mianowniki.W licznikach i mianownikach wag występują zawsze rożne liczby pierwsze. Tak więc hipotetyczna liczba doskonała nieparzysta jest iloczynem pewnych wag n-tych potęg liczb pierwszych nieparzystych czyli w liczniku wag posiada iloczyny innych liczb pierwszych niż w mianowniku więc nigdy nie skróci się do liczby naturalnej.Tak więc waga takiej liczby nie może wynieść 2 co jest warunkiem doskonałości liczby. Wniosek nasuwa się oczywisty -taka liczba nie istnieje. co należało dowieść ps.jako ciekawostka liczba 2^n jest też doskonała pod warunkiem wszak że n jest nieskończone. Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedysta:Witkal71/Liczby_doskona%C5%82e"


Posted Anonymously Latest page update: made by Anonymous , Mar 2 2008, 12:32 PM EST (about this update About This Update Posted Anonymously witkal71@wp.pl - anonymous

332 words added

view changes
- complete history)
Keyword tags: None (edit keyword tags)
More Info: links to this page

Threads for this page

Anonymous  (Get credit for your thread)
There are no threads for this page.  Be the first to start a new thread.