liczby doskonałeThis is a featured page

Liczby doskonałe nieparzyste nie istnieją.Oto dowod. Niech w(p^n) będzie ilorazem sumy dzielnikow n-tej potęgi liczby pierwszej p przez tę liczbę.(^oznacza potęgowanie) Nazwijmy w(p^n) wagą n-tej potęgi liczby pierwszej. Ponieważ sumę dzielników określa funkcja sigma znana z teorii liczb i oznaczana σ(n) więc wagę n-tej potęgi liczby pierwszej możemy zdefiniować jako: w(p^n)= σ(p^n):(p^n) (1) Podstawiając za σ(p^n)=[p^(n+1)-1]:(p-1) do wzoru (1) i po prostych przekształceniach dostajemy: w(p^n)=[p^(n+1)-1]:[p^(n+1)-p^n] (2) Wzor (2) tylko w zapisie komputerowym wygląda mało ciekawie w rzeczywistości jest ułamkiem zwykłym niewłaściwym ktorego licznik jest sumą dzielników n-tej potęgi liczby pierwszej a mianownik n-tą potęgą liczby pierwszej. Dla przykłdy obliczmy wagi kilku liczb pierwszych i ich potęg: w(2)=3/2 w(3)=4/3 w(5)=6/5 w(p)=(p+1)/p w(2^2)=7/4 w(3^2)=13/9 w(5^2)=31/25 w(2^3)=15/8 w(3^3)=40/27 w(5^3)=156/125 w(2^4)=31/16 w(3^4)=121/81 w(5^4)=781/625 w(2^n)=2 w(3^n)=3/2 w(5^n)=5/4 dla n dążącego do nieskończoności Oczywiście wagę liczby złożonej można zdefiniować jako iloczyn wag n-tych potęg liczb pierwszych wynikających z rozkladu na czynniki pierwsze.Oto przyklady: Obliczmy wagę liczby 100.Rozkładamy ją na czynniki:100=2^2*5^2 i korzystając z tabelki otrzymujemy w(100)=7/4 * 31/25=217/100 Rzeczywiście suma dzielnikow liczby 100 wynosi 217. Obliczmy wagę liczby 496.Rozkładamy na czynniki:2^4*31 w(496)=31/16 *32/31=2 a jak wiemy 496 jest liczbą doskonałą. Sformułujmy oczywisty zresztą warunek ,że liczba doskonała posiada wagę rowną 2. Poszukując liczby doskonałej nieparzystej jest oczywiste ,że w rozkładzie na czynniki pierwsze nie może mieć liczby 2. Ale jednocześnie waga takiej liczby musi wynosić 2. Przyjrzyjmy się wagą n-tych potęg nieparzystych liczb pierwszych. Zwroćmy uwagę czym są liczniki a czym mianowniki.Jak rozkładają się na czynniki pierwsze liczniki wag a jak mianowniki.W licznikach i mianownikach wag występują zawsze rożne liczby pierwsze. Tak więc hipotetyczna liczba doskonała nieparzysta jest iloczynem pewnych wag n-tych potęg liczb pierwszych nieparzystych czyli w liczniku wag posiada iloczyny innych liczb pierwszych niż w mianowniku więc nigdy nie skróci się do liczby naturalnej.Tak więc waga takiej liczby nie może wynieść 2 co jest warunkiem doskonałości liczby. Wniosek nasuwa się oczywisty -taka liczba nie istnieje. co należało dowieść ps.jako ciekawostka liczba 2^n jest też doskonała pod warunkiem wszak że n jest nieskończone. Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedysta:Witkal71/Liczby_doskona%C5%82e"


Posted Anonymously Latest page update: made by Anonymous , Mar 2 2008, 12:32 PM EST (about this update About This Update Posted Anonymously witkal71@wp.pl - anonymous

332 words added

view changes
- complete history)
Keyword tags: None
More Info: links to this page

Threads for this page

Started By Thread Subject Replies Last Post
Anonymous O fałszywości dowodu 1 Sep 18 2009, 2:22 PM EDT by witkal77
 
Thread started: Sep 9 2009, 8:56 PM EDT  Watch
"Sformułujmy oczywisty zresztą warunek ,że liczba doskonała posiada wagę rowną 2."

Nic podobnego. Wcale nie jest powiedziane, że każda liczba doskonała musi posiadać wagę równą 2. Pewne jest natomiast, że każda liczba doskonała parzysta posiada taką wagę. Wynika to po prostu ze wzoru który podał już Euklides (2^p-1)·2^(p-1), a który później udowodnił Euler wykazując, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą. I tylko dlatego autor otrzymuje wagi równe 2. No chyba, że autor potrafi udowodnić na jakiej podstawie prawidłowość dotyczącą liczb parzystych możemy przypisać również nieparzystym?

Do you find this valuable?    
Keyword tags: None
Show Last Reply
Showing 1 of 1 threads for this page