Weź pod uwagę jakąkolwiek liczbę czterocyfrową (wymagamy jednak, by cyfry te nie były identyczne). Teraz:

1. Tak poprzestawiaj cyfry tej liczby, by otrzymać największą i najmniejszą liczbę złożoną z tych cyfr.
2. Weź tak uzyskane liczby i odejmij mniejszą od większej.
3. Z rezultatem powtórz wszystkie działania od punktu 1.

Co się będzie działo, gdy będziemy ten proces powtarzać w nieskończoność? A no – zobaczmy… Weźmy na przykład liczbę 3141. Oto działania:



…i liczba 6174 będzie się już powtarzała stale. Czy to przypadek?

Okazuje się, że nie. Absolutnie każda liczba czterocyfrowa wpuszczona w młynek naszego algorytmu doprowadzi do 6174 i to w co najwyżej siódmym kroku!

Jedna uwaga: jeśli gdzieś po drodze w naszym algorytmie pojawi się liczba trzycyfrowa, to musimy ją potraktować jako czterocyfrową, dopisując ewentualnie na początku zero. Powiedzmy: startujemy od 3222. Odejmujemy 2333, otrzymując 999; wynik ten musimy zapisać jako 0999 i następne działanie powinno być takie: 9990 – 0999 = 8991.

Jak tego dowieść?

Niestety, dowód nie jest elegancki. Trzeba zauważyć po prostu, że dowolna liczba czterocyfrowa wyznacza jednoznacznie cały ciąg kolejnych liczb z tego algorytmu; że zaś liczb czterocyfrowych jest skończenie wiele, więc wystarczy rozważyć wszystkie możliwe przypadki. Zbadanie ich za pomocą komputera zajmie sekundy.

Propozycja:

Rozważaliśmy liczby czterocyfrowe. A co z pięciocyfrowymi, sześciocyfrowymi i tak dalej? A jeżeli będziemy liczyli nie w systemie dziesiątkowym, a piątkowym? Dwunastkowym? Binarnym? Dowolnym?
Tak właśnie najbanalniejsza obserwacja faktu matematycznego generuje kolejne pytania i może doprowadzić do powstania całej nowej teorii…