Oto jeszcze jedna bardzo prosta w sformułowaniu, a niezmiernie trudna do dowiedzenia hipoteza; tak trudna, że dotychczas nierozstrzygnięta.

Zbudujemy ciąg liczb naturalnych następująco:

1. Jako pierwszy wyraz wybieramy dowolną liczbę naturalną n
2. Jeśli któraś liczba w ciągu jest parzysta, to dzielimy ją przez dwa i wynik przyjmujemy jako

Spróbujmy przećwiczyć to na kilku przykładach. Oto próby:

n=3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=4; 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
n=7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Ciekawe… czyżbyśmy zawsze dochodzili w ten sposób do jedynki – a potem do powtarzającego się cyklu 4,2,1,4,2,1,…?
Przypuszczenie, że tak właśnie jest, nosi nazwę hipotezy Collatza.

Nikomu nie udało się jej dotychczas udowodnić. Z drugiej strony wielokrotnie powtarzane obliczenia komputerowe dają za każdym razem właśnie ten rezultat, więc prawdziwość hipotezy jest wielce prawdopodobna!

Ciekawostka: najdłuższy ciąg zaczynający się od liczby mniejszej niż 100, prowadzący do finałowej sekwencji 1, 4, 2, 1, ... otrzymujemy zaczynając całą operację od liczby 27.

Hipoteza Collatza jest słuszna.Oto krótki dowód albo właściwie komentarz do dowodu.
Załózmy , że istnieje pewna liczba n , taka że ciąg Collatza jest rozbieżny lub się zapętla.Założenie to pociąga fakt, że dla liczb od 1 do n-1 generowane są ciągi Collatza zgodne z hipotezą. Komentarz:Nie przesądzając ile jest takich liczb weżmy tę najmniejszą.
Zastanowmy się czy taką liczbą n może być liczba parzysta.Otoż nie gdyż pierwszy wyraz wygenerowany przez ten ciąg będzie n/2 a jak powiedziano powyżej wszystkie liczby mniejsze od n generują ciąg Collatza zgodny z hipotezą. Czyli na generatory ciągu Collatza pretendują tylko liczby nieparzyste. Drugie istotne spostrzeżenie , to że jeśli taki ciąg istnieje to jego wyrazy muszą być większe od n i jednocześnie się nie powtarzać.I wreszczie po trzecie żaden wyraz tego ciągu nie może być równy jakiemukolwiek wyrazwi n-1 ciągów Collatza dla których znana jest odpowiedz.Czyli: 1) n jest liczbą nieparzystą 2) n generuje liczby większe od n 3) dla n wyrazy się nie powtarzają 4) dla n wszystkie wyrazy ciągu nie występują w ciągach o ktorych wiemy ,że spełniają hipotezę.
Właściwy dowod jaki przeprowadziłem polega na tzw.sicie Collatza ktorego idea sprowadza się do wykreślania kolejnych liczb naturalnych , nie spełniających warunków 2-4. W kolumnach są generatory generujące pierwsze wyrazy ciągu Collatza.Ponieważ za generatory używamy liczb nieparzystych więc ustawione są tak ,że w danej kolumnie są liczby kończące się tą samą cyfrą:
1-4 .. 3-10 5-16 7-22 9-28
11-34 13-40 15-46 17-52 19-58
21-64 23-70 25-76 27-82 29-88
31-94 33-100 35-106 37-112 39-118
41-124 43-130 45-136 47-142 49-148
51-154 53-160 55-166 57-172 59-178
**1- **4 **3 - **0 ** 5- **6 **7- **2 **9- **

• **-dowolny ciąg cyfr

Wykreślamy wszystkie liczby podzielne przez 4 wraz z ich generatorami Komentarz:Dlatego przez 4 ,że kolejne wyrazy nie będą spelniać warunku 2 Z nie wykreślonych tworzymy kolejne sito(generator-drugi wyraz ciągu)
11-17 | 3-5 | 15-23 | 7-11 | 19-29
31-47 | 23-35 | 35-53 | 27-41 | 39-59
51-77 | 43-65 | 55-83 | 47-71 | 59-89
Teraz wykreślamy te liczby ktore pojawiły się w pierwszym sicie (nie spełniony warunek 4) i tworzymy kolejne sito(generator-trzeci wyraz ciągu) i postępujemy tak jak poprzednio.I co się okazuję że postępując tak k razy wykreślimy wszystkie liczby naturalne.Czyli w sicie nie zostanie nic co oznacza że nie istnieje taka liczba n generująca ciąg Collatza ktora nie spełnia hipotezy CO KOŃCZY DOWÓD.

ps. przepraszam za mało czytelne tabelki