Każdy z nas pamięta zapewne bezbłędnie cechy podzielności dowolnej liczby naturalnej przez 2, 3, 5 i 9. Na wszelki wypadek – przypomnijmy:

• Liczba N dzieli się bez reszty przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta
• Liczba N dzieli się bez reszty przez 3 (albo 9), jeśli jej suma cyfr dzieli się przez 3 (albo przez 9)
• Liczba N dzieli się bez reszty przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

Cech podzielności przez 7 nie pamięta zapewne nikt poza zawodowymi matematykami (i to niektórymi). Oczywiście dlatego, że są one dość skomplikowane i przez to stosunkowo mało przydatne w praktyce. Oto dwie takie cechy:

1. Wypiszmy cyfry danej liczby „od tyłu”, tj. od prawej do lewej. Pomnóżmy każdą z nich przez liczby ciągu 1, 3, 2, 6, 4, 5, powtarzając ewentualnie ten ciąg tyle razy, ile trzeba (albo przerywając go w odpowiednim miejscu, jeśli tak wypadnie). Zsumujmy iloczyny. Podzielenie rezultatu przez 7 da tę samą resztę, co podzielenie przez 7 liczby wyjściowej.
   Przykład: badamy podzielność przez 7 liczby 1603. Odpowiednie obliczenia wyglądają tak: 3×1 + 0×3 + 6×2 + 1×6 = 21. Ponieważ 7 dzieli 21, więc również dzieli 1603.
2. Odrzucamy ostatnią cyfrę danej liczby, mnożymy ją przez 2, wynik odejmujemy od liczby skróconej o ostatnią cyfrę i proces ten powtarzamy tak długo, aż otrzymamy wynik jednocyfrowy. Jeśli otrzymamy 0 lub 7, to liczba wyjściowa jest podzielna przez 7, jeśli nie – to nie.
   Przykład: 1603 à 160 - 2×3 = 154 à 15 - 2×4 = 7, więc 7 dzieli 1603.

Propozycja (dość trudna):

Udowodnij te cechy podzielności. Dowodząc pierwszej, rozważ jakie reszty można otrzymać dzieląc jakąkolwiek potęgę 10 przez 7; mogą to być właśnie tylko liczby 1, 3, 2, 6, 4 i 5. Dowodząc drugiej możesz skorzystać z innego faktu (który naturalnie także wymaga dowodu), że reszta z dzielenia przez 7 liczby 10A + B jest taka sama, jak z dzielenia przez 7 liczby 10×(A – 2B).