Wiesz, oczywiście, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Zastanawianie się nad ich rozmieszczeniem między wszystkimi liczbami naturalnym rodzi szereg interesujących pytań matematycznych. Oto jedno z takich pytań: Czy „odstępy” między kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie duże?
Na pierwszy rzut oka pytanie to może się wydać komuś trudne. W istocie jest bardzo łatwe. W uzyskaniu odpowiedzi może nam pomóc odrobinkę inne sformułowanie problemu: czy potrafisz znaleźć dowolnie długi ciąg kolejnych liczb naturalnych, które wszystkie będą złożone?

Oczywiście. Użyjemy w tym celu pojęcia silni. Symbolem N! (czyta się N – silnia) oznaczamy mianowicie iloczyn liczby N i wszystkich liczb naturalnych od niej mniejszych; innymi słowy


Jest zrozumiałe, że każda z liczb 2, 3,… ,N jest dzielnikiem liczby N!. Ale wobec tego N!+2 jest liczbą podzielną przez 2, N!+3 jest podzielne przez 3, i tak dalej. Ogólnie: N!+k jest podzielne przez k dla wszystkich k = 2,… ,(N-1). Skonstruowaliśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych o długości (N-1). Ponieważ zaś N może być zupełnie dowolne, więc dowiedliśmy, że między dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi mogą występować odstępy dowolnie duże.

Propozycja:

Znajdź takie dwie kolejne liczby pierwsze, by odstęp między nimi wynosił co najmniej 10 Komentarz do artykułu. Tytuł artykułu i ostatnie zdanie mogą być jednak mylące ponieważ maksymalne odstępy między liczbami pierwszymi rzeczywiście wzrastają
ale ze wzrostem liczb.Oznacza to ,że możemy pomyśleć dowolny odstęp między liczbami pierwszymi ale te liczby będą mniej więcej tej samej
wielkości co odstęp więc o żadnej dziurze nie może być mowy.Zresztą to wynika z udowodnionego i bardziej sformułowanego tw.Czebyszewa , ze
między liczbą n a 2n istnieją co najmniej dwie liczby pierwsze.Bardziej zaawansowana teoria pokazuje ,że nastepna liczba pierwsza po p nie może
być większa niż (3p+1)/2 ale to jeszcze nie zostało udowodnione choć ma to ścisły związek z ciągiem Collatza.