Nie ma chyba matematyka, który we wczesnej młodości nie zadałby sobie (lub swemu nauczycielowi) pytania: czy istnieje jakiś wzór na liczby pierwsze?
Popatrzmy na wielomian


i podstawiajmy w nim za n kolejne liczby od 0 do 39. Zobaczymy, że w wyniku otrzymamy zawsze liczbę pierwszą. Oczywiście, w pewnym momencie się to skończy (dla n = 40 otrzymamy 1681 czyli 412 ).

Niestety, żadnego tak prostego wzoru jak powyższy (tzn. wielomianu o współczynnikach całkowitych), który dla wszystkich n dawałby liczby pierwsze – nie ma i być nie może.

Przy okazji: mamy oto świetny przykład, że sprawdzenie jakiejś prawidłowości nawet dla dość dużej liczby pojedynczych przypadków nie upoważnia nas jeszcze do uznania jej za prawdziwą ogólnie. Ciekawe, że ludzie stosunkowo łatwo godzą się z tym, że nawet jak po kolei spotkali na ulicy 100 mężczyzn, to osobą o numerze 101 może być kobieta; natomiast gdy jakiś związek matematyczny jest prawdziwy dla stu kolejnych liczb, to rodzi to silne podejrzenie, że jest on prawdziwy ogólnie…

Nie znaczy to, że nie ma w ogóle wzorów na liczby pierwsze. Sęk jednak w tym, że są one stosunkowo mało użyteczne; jak na przykład taki oto, uzyskany przez Millsa w roku 1947:


Wygląda niezbyt wrednie, ale zastanów się jak szybko ta wartość rośnie! Rachowanie za pomocą tej formuły byłoby w praktyce całkiem bez sensu.

Przy okazji: rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych jest bardzo nierównomierne. W pierwszej dziesiątce mamy cztery (zatem 40%), w pierwszej setce 25 (czyli 25%). Milion pierwszych liczb naturalnych zawiera już tylko 8% liczb pierwszych. Co ciekawe, znamy dość prosty wzór, pozwalający z dobrym przybliżeniem oszacować liczbę liczb pierwszych wśród N liczb naturalnych (daje tym dokładniejszy wynik im N jest większe):