Jak dwa kwadraty zamienić na jeden o polu równym sumie pól kwadratów wyjściowych? A dokładniej: jak pociąć dwa kwadraty na takie kawałki, z których dałoby się ułożyć inny kwadrat?

Kto zna twierdzenie Pitagorasa, nie będzie z tym miał z tym zadaniem większych problemów (w każdym razie z pierwszym sformułowaniem). Podobno zresztą właśnie Pitagorasowi przypisuje się jego pierwsze rozwiązanie, ale – jak twierdzą historycy matematyki – ludzie zajmowali się nim dużo wcześniej, na 1000-1500 lat przed czasami Wielkiego Greka.

Na rysunku powyżej czerwony kwadrat jest sumą (w sensie naszego zadania) kwadratów niebieskiego i żółtego. Konstrukcja jest chyba oczywista i polega na łatwym zbudowaniu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne są równe bokom kwadratów wyjściowych; wówczas kwadrat, zbudowany na przeciwprostokątnej ma żądane pole. Jak jednak zrobić konkretne cięcia, żeby z kwadratów wyjściowych złożyć ten duży?
Na przykład – tak oto.



Ułóżmy dwa wyjściowe kwadraty w figurę ABCDEF. Odłóżmy na boku AF odcinek FQ = AB i potnijmy naszą figurę wzdłuż odcinków EQ i BQ. Przełóżmy następnie trójkąt BAQ w miejsce BCP, a trójkąt EFQ w miejsce EDP. Otrzymamy w ten sposób kwadrat EQBP zawierający wszystkie części danych dwóch kwadratów. Jego bok jest równy przeciwprostokątnej EQ trójkąta prostokątnego EFQ, a boki danych dwóch kwadratów stanowią jego przyprostokątne EF i FQ. Równość trójkątów BAG, BCP, EFQ i EDP oraz fakt, że EQBP jest kwadratem, to chyba oczywistości?