Sporządź dwa wykazy: w jednym zawrzyj wszystkie kolejne potęgi liczby 10 przy podstawie 2, w drugim – przy podstawie 5.
Aha: nie pamiętasz jak to jest z tymi podstawami…

No dobrze. Nasz system liczenia (tzn. ten, którym się posługujemy na co dzień) jest systemem dziesiętnym. Oznacza to, że każdą liczbę, którą zapisujemy w postaci


(gdzie a, b, c, d, e, … oznaczają kolejne cyfry naszej liczby) możemy i musimy rozumieć jako wynik działania:


czyli w postaci sumy kolejnych potęg liczby 10 (podstawy systemu liczenia) pomnożonych przez odpowiednie współczynniki ( w naszym przypadku przez 0, 1, 2, …, 9; chyba rozumiesz, że mogą to być tylko te liczby; pomyśl o tym, bo to wcale nie jest banalne spostrzeżenie!).

No i teraz każdą liczbę – dla ustalenia uwagi mówimy obecnie tylko o liczbach całkowitych – można zupełnie podobnie przedstawić jako sumę potęg (znów – z odpowiednimi współczynnikami) nie liczby 10, ale dowolnej innej; na przykład, 2 – powiemy wtedy, że używamy systemu dwójkowego albo binarnego. Możemy też użyć liczby 5, wówczas będziemy mówili naturalnie o systemie piątkowym.

Wracamy do naszego zadania. Potęgi 10 w systemie dziesiętnym, to – oczywiście, oczywiście! – liczby 1, 10, 100, 1000…
Liczymy. W systemie dwójkowym będą to liczby 1, 1010, 1100100, 1111101000,... W systemie piątkowym: 20, 400, 13000, 310000,...

Chwileczkę. Nie wierz mi na słowo tak od razu. Sprawdź, czy się nie pomyliłem. Policz! No, powiedzmy: 20 w systemie piątkowym, to będzie 2×5 + 0×1, czyli „po naszemu” 10; tu się wszystko zgadza. 400 w systemie piątkowym, to 4×25 + 0×5 +0×1 = czyli 100; znów się zgadza. Ale nie odpuszczaj: policz wszystko!

Zgadza się? Bardzo dobrze. A teraz dość dziwny fakt; dziwność jego dla mnie osobiście polega na tym, że zupełnie nie mam pojęcia, jak na to wpadnięto: zauważono otóż, że dla każdej liczby N > 1 istnieje dokładnie jedna liczba N-cyfrowa, która występuje w jednej i tylko jednej z tych dwóch list…

Weźmy N = 5; taką liczbą, o której mowa w tym stwierdzeniu, jest 13000 i występuje ona w drugiej liście. Dla N = 6 odpowiednią liczbą będzie 310000, też z drugiej listy. Dla N = 7 chodzi o liczbę 1100100 z pierwszej listy.

Powiadasz: no i co z tego? Odpowiadam: a no, nic z tego. Jeśli cię to jednak nie zastanawia, to raczej nie masz predyspozycji do bycia wielkim matematykiem; i tyle.

A czy ta uwaga ma jakieś znaczenie praktyczne? Też nie ma. Matematyka w zasadzie nie interesuje się żadnymi zastosowaniami swoich twierdzeń, choć matematycy oczywiście cieszą się, gdy ich badania okażą się komuś przydatne. Matematycy powiadają jednak najczęściej, że od interesowania się wynikami ich pracy są fizycy, inżynierowie czy uczeni dowolnej innej specjalności. Chcą ci uczeni stosować matematykę (a z reguły to daje wspaniałe rezultaty) – to niech się jej nauczą.

Że to trochę obcesowe podejście do sprawy? Trudno. Nic na to nie poradzę.

Propozycja:

Jeśli potrafisz udowodnić powyżej opisany fakt, to gratulacje. To nie jest łatwe!