** Ciekawa własność okresu rozwinięcia dziesiętnego liczby wymiernejThis is a featured page

Wiesz z pewnością, że rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej albo jest skończone, albo zawiera okresowo powtarzający się ciąg cyfr. Z pewnością jednak mało kto wie o tym, że jeśli mianownik owej wyjściowej liczby wymiernej nie jest podzielny przez 3, to to powtarzająca się część rozwinięcia – traktowana jako jedna liczba – musi być podzielna przez 9!
Popatrzmy:

i powtarza się ciąg 142857. Jest to rzeczywiście liczba podzielna przez 9.
Podobnie:

i powtarza się ciąg 45, określający – naturalnie – liczbę podzielną przez 9.
Fakt raczej zaskakujący, prawda? Tymczasem chyba dość łatwy do dowiedzenia. Część powtarzającą się R rozwinięcia liczby wymiernej X da się zapisać (pomyśl: czemu?) w postaci

Wnioskujemy stąd, że R×n = (10P – 1) × n jest liczbą całkowitą.

Ponieważ zaś (10P – 1) jest zawsze podzielne przez 9 (bo to przecież liczba, złożona z samych dziewiątek…), to jeżeli teraz liczba n (mianownik naszej wyjściowej liczby wymiernej) nie jest podzielna przez 3, to podzielna przez 3 (oraz przez 9) musi być liczba R! Cbdo.


bogmis
bogmis
Latest page update: made by bogmis , Jun 22 2006, 8:38 AM EDT (about this update About This Update bogmis Edited by bogmis

166 words added
3 images added

view changes

- complete history)
More Info: links to this page
There are no threads for this page.  Be the first to start a new thread.

Related Content

  (what's this?Related ContentThanks to keyword tags, links to related pages and threads are added to the bottom of your pages. Up to 15 links are shown, determined by matching tags and by how recently the content was updated; keeping the most current at the top. Share your feedback on Wetpaint Central.)