Wiesz z pewnością, że rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej albo jest skończone, albo zawiera okresowo powtarzający się ciąg cyfr. Z pewnością jednak mało kto wie o tym, że jeśli mianownik owej wyjściowej liczby wymiernej nie jest podzielny przez 3, to to powtarzająca się część rozwinięcia – traktowana jako jedna liczba – musi być podzielna przez 9!
Popatrzmy:

i powtarza się ciąg 142857. Jest to rzeczywiście liczba podzielna przez 9.
Podobnie:

i powtarza się ciąg 45, określający – naturalnie – liczbę podzielną przez 9.
Fakt raczej zaskakujący, prawda? Tymczasem chyba dość łatwy do dowiedzenia. Część powtarzającą się R rozwinięcia liczby wymiernej X da się zapisać (pomyśl: czemu?) w postaci

Wnioskujemy stąd, że R×n = (10P – 1) × n jest liczbą całkowitą.

Ponieważ zaś (10P – 1) jest zawsze podzielne przez 9 (bo to przecież liczba, złożona z samych dziewiątek…), to jeżeli teraz liczba n (mianownik naszej wyjściowej liczby wymiernej) nie jest podzielna przez 3, to podzielna przez 3 (oraz przez 9) musi być liczba R! Cbdo.