*** Reguła znaków KartezjuszaThis is a featured page

Spójrzmy na taki oto wielomian:
Spójrzmy na taki oto wielomian:


*** Reguła znaków Kartezjusza - Nowe ślady Pitagorasa= 3x10
*** Reguła znaków Kartezjusza - Nowe ślady Pitagorasa

i zastanówmy się: czy można coś powiedzieć o liczbie jego dodatnich i rzeczywistych pierwiastków (miejsc zerowych) bez głębszej analizy tego wielomianu i jakichś skomplikowanych obliczeń?

Problem rozwiązuje twierdzenie udowodnione w 1637 roku przez Kartezjusza, znane jako reguła znaków (jego imienia). Otóż liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu jest wyznaczona przez liczbę zmian znaków jego współczynników. Karol Gauss wykazał później, że liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności ma tę samą parzystość jak liczba zmian znaków współczynników.

Wracając do naszego przykładowego wielomianu: wynika stąd, że ma on co najwyżej jeden dodatni pierwiastek rzeczywisty – a stąd już wynika, że dokładnie jeden.

Łatwy wniosek z reguły Kartezjusza orzeka, że liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych wielomianu f(x) jest określona przez liczbę zmian znaków współczynników wielomianu f(-x); a wobec tego liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych naszego wielomianu jest 1 lub 3.


Propozycja:

Spróbuj udowodnić regułę znaków Kartezjusza dla wielomianów stopnia drugiego (trójmianów kwadratowych). Dowód tej reguły w ogólnym przypadku wymaga zastosowania indukcji matematycznej względem stopnia wielomianu.


Posted Anonymously Latest page update: made by Anonymous , Feb 18 2008, 11:39 AM EST (about this update About This Update Posted Anonymously woow takie se bledziki xD - anonymous

7 words added
2 images added
1 image deleted

view changes

- complete history)
More Info: links to this page
Started By Thread Subject Replies Last Post
AndrzejC Reguła znaków Kartezjusza 0 Jan 3 2009, 4:49 PM EST by AndrzejC
Thread started: Jan 3 2009, 4:49 PM EST  Watch
Warto chyba wspomnieć, że reguła ta jest używana w finansach, do wyznaczenia wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji, a właściwie do stwierdzenia, że jest tylko jedna taka stopa (bo jest jedna zmiana znaku w odpowiednim wielomianie).
1  out of 1 found this valuable. Do you?    
Keyword tags: None
Showing 1 of 1 threads for this page

Related Content

  (what's this?Related ContentThanks to keyword tags, links to related pages and threads are added to the bottom of your pages. Up to 15 links are shown, determined by matching tags and by how recently the content was updated; keeping the most current at the top. Share your feedback on Wetpaint Central.)