i zastanówmy się: czy można coś powiedzieć o liczbie jego dodatnich i rzeczywistych pierwiastków (miejsc zerowych) bez głębszej analizy tego wielomianu i jakichś skomplikowanych obliczeń?

Problem rozwiązuje twierdzenie udowodnione w 1637 roku przez Kartezjusza, znane jako reguła znaków (jego imienia). Otóż liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu jest wyznaczona przez liczbę zmian znaków jego współczynników. Karol Gauss wykazał później, że liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności ma tę samą parzystość jak liczba zmian znaków współczynników.

Wracając do naszego przykładowego wielomianu: wynika stąd, że ma on co najwyżej jeden dodatni pierwiastek rzeczywisty – a stąd już wynika, że dokładnie jeden.

Łatwy wniosek z reguły Kartezjusza orzeka, że liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych wielomianu f(x) jest określona przez liczbę zmian znaków współczynników wielomianu f(-x); a wobec tego liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych naszego wielomianu jest 1 lub 3.

Propozycja:

Spróbuj udowodnić regułę znaków Kartezjusza dla wielomianów stopnia drugiego (trójmianów kwadratowych). Dowód tej reguły w ogólnym przypadku wymaga zastosowania indukcji matematycznej względem stopnia wielomianu.