1. Łatwo zauważyć, że podnosząc liczbę niewymierną do potęgi wymiernej można otrzymać rezultat wymierny. Prosty przykład:
   

• 
  

Co jednak będzie, kiedy liczbę niewymierną podniesiemy do potęgi również niewymiernej? Czy w takim przypadku można kiedykolwiek otrzymać liczbę wymierną?

Odpowiedź jest pozytywna: tak, można. Zwróć uwagę, że uzyskamy tę odpowiedź bez wskazania konkretnych liczb; będzie to dość typowy dla matematyków nieefektywny dowód istnienia rozwiązania problemu. Oto

Twierdzenie

Istnieją takie liczby niewymierne A i B, że liczba A^B jest wymierna.

Wiemy, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną. Jeśli liczba pierwiastek z dwóch do potegi pierwiastek z dwóch jest wymierna, to dowód twierdzenia jest zakończony; załóżmy więc, że jest ona niewymierna i oznaczmy tę liczbę przez A. Oznaczając przez B liczbę pierwiastek z dwóch zauważymy z łatwością, że A^B = 2; a zatem wynik jest wymierny, co dowodzi naszego twierdzenia, cbdo.

Dowód ten jest po prostu piękny, ponieważ nie mówi on nam kompletnie nic o wymierności albo niewymierności liczby !

Uzupełnienie:

Od roku 1934 wiadomo, że ta liczba jest jednak niewymierna, co wynika z tzw. twierdzenia Gelfonda-Schneidera. Orzeka ono, że jeśli liczby A i B są pierwiastkami wielomianu, A nie jest zerem ani jedynką i B jest niewymierne, to A^B jest liczbą niewymierną (a nawet więcej: przestępną!)

Liczby przestępne to liczby nie będące miejscami zerowymi żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Przestępne są na przykład π i e. Nie jest liczbą przestępną pierwiastek z dwóch (dlaczego?).

Obejdziemy się jednak bez twierdzenia Gelfonda-Schneidera. Niechaj x będzie dowolną liczbą przestępną. Niech dalej q będzie dowolną dodatnią liczbą wymierną. Wówczas oczywiście


i pozostaje nam dowieść, że wykładnik jest liczbą niewymierną. Jeśli jednak byłaby ona wymierna, to mielibyśmy


skąd wynikałoby, że


co z kolei oznaczałoby, iż