oznacza sumę wartości pewnej funkcji f(k), przy czym sumujemy od wartości k = m do wartości k = p. Inaczej, jest to f(m) + f(m+1) + … + f(p). Ten zapis z nieskończonością to zatem skrót czegoś takiego:

1 +

No i teraz kilka zadziwiających faktów. Otóż jeżeli będziemy sumowali nieskończenie nie odwrotności kolejnych liczb naturalnych – jak powyżej – ale odwrotności ich kwadratów, to otrzymamy nie nieskończoność, ale liczbę skończoną; nic w tym jeszcze nie ma specjalnie zastanawiającego i dość łatwo coś takiego udowodnić mając bardzo niewielką wiedzę z zakresu Analizy Matematycznej. Zaskakujące jest to, że owa liczba jest bardzo wyraźnie związana z liczbą π (3,14159265… - jest to, przypominam, stosunek obwodu dowolnego okręgu do jego średnicy, a więc stała o charakterze – z pozoru – silnie „geometrycznym”). Mianowicie owa suma, to po prostu kwadrat π podzielony przez sześć.

Co więcej, silnie związane z liczbą π są również nieskończone sumy odwrotności kolejnych parzystych potęg liczb naturalnych. I tak, suma odwrotności czwartych potęg, to π do potęgi czwartej dzielone przez 90, suma odwrotności szóstych potęg – to π do szóstej dzielone przez 945…

Uzupełnienie:

Bardzo mało – jak dotychczas – wiadomo o nieskończonych sumach odwrotności nieparzystych potęg liczb naturalnych. W zasadzie wiemy dziś tylko tyle, że nieskończona suma odwrotności sześcianów jest niewymierna. Suma x-tych potęg odwrotności liczb naturalnych jest – gdy ją rozważać jako funkcję zmiennej zespolonej x – niesłychanie znaną i ważną funkcją; nosi nazwę funkcji zeta Riemanna. Ma ona bardzo głęboki i trudny związek z liczbami pierwszymi.