Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wypukłego: jest to taki zbiór, że jeśli należą do niego dwa jakieś punkty, to należy również cały odcinek, łączący te punkty.

Weźmy teraz pod uwagę dowolną figurę wypukłą płaską i jej brzeg; załóżmy, że ten brzeg jest „przyzwoitą” krzywą ciągłą, bez żadnych dziurek, ani zapętleń. Poprowadźmy przez dowolny punkt tego brzegu prostą tak, by przecięła naszą figurę jeszcze w jednym punkcie (taką prostą nazywamy cięciwą). Oczywiście, mocą wypukłości, środek tak powstałego odcinka leży wewnątrz naszej figury. Nazwijmy go środkiem cięciwy.

Odwróćmy sytuację: weźmy teraz dowolny punkt we wnętrzu naszej figury. Czy istnieje cięciwa, dla której ten punkt jest środkiem?

Odpowiedź jest pozytywna. Łatwo dostrzec, że tak być rzeczywiście musi. Poprowadźmy mianowicie przez nasz punkt dowolną cięciwę – i niech dzieli on odpowiedni odcinek na dwie nierówne części. Weźmy pod uwagę różnicę długości części dłuższej i krótszej. Obracajmy teraz cięciwę wokół naszego danego punktu; oczywiście ta różnica będzie funkcją (i to ciągłą) kąta obrotu. Po obrocie o 180 stopni odcinki krótszy i dłuższy zamienią się miejscami; innymi słowy mówiąc, różnica ich długości będzie teraz ujemna.

No, ale skoro funkcja ciągła na danym przedziale ma różne znaki na jego końcach, to gdzieś po drodze musi przyjąć wartość zero; jeśli zaś tak, to dla pewnego kąta różnica długości obu odcinków staje się zerem, czyli odcinki są równej długości. Czyli nasz wyjściowy punkt jest istotnie środkiem dla pewnej cięciwy.

Trochę trudniejsze: czy istnieje w rozważanej figurze punkt, będący jednocześnie środkiem dwóch różnych cięciw?
Znów odpowiedź jest pozytywna. Weźmy pod uwagę jakąś rodzinę równoległych cięciw naszej figury. Ich środki ułożą się na pewnej krzywej ciągłej, zgoda? Weźmy więc inną rodzinę równoległych cięciw; ich środki znów ułożą się w pewną krzywą ciągłą. Obie te krzywe muszą się gdzieś wewnątrz naszej figury przeciąć; punkt przecięcia jest szukanym punktem, będącym jednocześnie środkiem dwóch cięciw.

Najtrudniejsze: czy istnieje wewnątrz naszej figury punkt, będący środkiem trzech cięciw?
Myśl, myśl. Komu się uda rozwiązać ten problem – może uznać, że ma wybitny talent matematyczny.