„Każdy wie”, że dowolna liczba podniesiona do potęgi zero daje jeden. „Każdy wie” także, że zero podniesione do dowolnej potęgi daje zero. Więc ile to w końcu jest – zero do zerowej?

No dobrze, mądrale: najłatwiej powiedzieć, że ta wartość nie jest określona, bowiem funkcja x^x rozważana jako funkcja dwóch zmiennych nie jest ciągła w punkcie (0, 0).

Ale gdyby mogła być określona – upierasz się – to ile „powinna” wynosić? Zero, czy jeden? Może to rozstrzygnąć w drodze głosowania?

Uprzedźmy wynik ewentualnego głosowania: wypadnie nam preferować liczbę 1. A oto argumenty:

1. Jeśli rozważymy granicę funkcji x^x w punkcie 0 (dlax zmierzającego do zera z prawej strony), to łatwo zauważyć, że musi ona wynosić 1. Jeśli więc chcielibyśmy, by ta funkcja była w zerze prawostronnie ciągła (a wszak funkcje ciągłe są „przyjemniejsze”, nieprawdaż?), to powinniśmy przyjąć, że 0^0 = 1. Wykonajmy zresztą trochę obliczeń na kalkulatorze (może być tym z Windows, jeśli akurat korzystasz z komputera).

Mamy:

0,01^0,01 = 0,954592
0,001^0,001 = 0,993116
0,0001^0,0001 = 0,999079

i widać, jak szybka jest w tym wypadku zbieżność do jedynki.

2. Rozważmy trójkąt Pascala, zbudowany dla wyrażenia (1 – 1)^n. Jeśli chcemy, by zachował on swą charakterystyczną budowę w kształcie trójkąta
to musimy przyjąć, że 0^0 = 1, żeby ta jedynka pojawiła się i w tym przypadku na samej górze; wtedy i tylko wtedy „wszystko się zgadza”.

3. Wyrażenie mn , gdzie m i n są liczbami naturalnymi, przyjęto rozumieć jako wynik mnożenia liczby m przez siebie n razy.
Możemy to zapisać również i tak:

mn = 1×m×m×…×m

gdzie występuje n mnożeń. Jeśli n = 0, to wynik tego mnożenia powinien być 1.

4. Spójrzmy na to jeszcze inaczej. Potęgę m^n można interpretować jako liczbę sposobów, na jakie zbiór n-elementowy da się przekształcić na zbiór m-elementowy. Na przykład: na 9 sposobów można przekształcić zbiór dwuelementowy na trójelementowy; z drugiej strony nie ma w ogóle żadnej możliwości przekształcenia zbioru dwuelementowego w zbiór pusty i dlatego właśnie 0^2 = 0. Jednakże istnieje dokładnie jeden sposób przekształcenia zbioru pustego na zbiór pusty, mianowicie przyporządkowanie identycznościowe. Skoro istnieje ten jeden sposób, no to musimy konsekwentnie przyjąć, że 0^0 = 1.